Cho đa thức f(x) là đa thức bậc 4 với hệ số nguyên.CMR: f(x) chia hết cho 7 thì từng hệ số của đa thức f(x) chia hết cho 7

0 bình luận về “Cho đa thức f(x) là đa thức bậc 4 với hệ số nguyên.CMR: f(x) chia hết cho 7 thì từng hệ số của đa thức f(x) chia hết cho 7”

1. Giải thích các bước giải:

   Vì đa thức $f(x)$ là đa thức bậc $4$ với hệ số nguyên

   $\to f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e, (a,b,c,d,e\in Z, a\ne 0)$

   Ta có:

   $f(x)\quad\vdots\quad 7,\forall x\in Z$

   $\to f(0)\quad\vdots\quad 7\to e\quad\vdots\quad 7$

   Lại có:

   $\to \begin{cases}f(1)+f(-1)\quad\vdots\quad 7\\f(-1)-f(-1)\quad\vdots\quad 7\end{cases}$

   $\to \begin{cases}2a+2c+2e\quad\vdots\quad 7\\2b+2d\quad\vdots\quad 7\end{cases}$

   $\to \begin{cases}a+c+e\quad\vdots\quad 7\\b+d\quad\vdots\quad 7\end{cases}$

   $\to \begin{cases}a+c\quad\vdots\quad 7\\b+d\quad\vdots\quad 7\end{cases}$

   Lại có:

   $f(2)=16a+8b+4c+2d+e\quad\vdots\quad 7$

   $\to 16a+8b+4c+2d\quad\vdots\quad 7$

   $\to 8a+4b+2c+d\quad\vdots\quad 7$

   $\to a+7a+4b+2c+d\quad\vdots\quad 7$

   $\to a+4b+2c+d\quad\vdots\quad 7$

   $\to (a+c)+(b+d)+3b+c\quad\vdots\quad 7$

   $\to 3b+c\quad\vdots\quad 7$

   Lại có:

   $f(-2)=16a-8b+4c-2d+e\quad\vdots\quad 7$

   $\to 2a+14a-7b-b+4c-2d+e\quad\vdots\quad 7$

   $\to 2a-b+4c-2d\quad\vdots\quad 7$

   $\to 2(a+c)-2(b+d)+b+2c\quad\vdots\quad 7$

   $\to b+2c\quad\vdots\quad 7$

   $\to 2(3b+c)-( b+2c)\quad\vdots\quad 7$

   $\to 5b\quad\vdots\quad 7$

   $\to b\quad\vdots\quad 7$

   $\to 2c\quad\vdots\quad 7$

   $\to c\quad\vdots\quad 7$

   $\to a,d\quad\vdots\quad 7$ vì $a+c,b+d\quad\vdots\quad 7$

   $\to f(x)\quad\vdots\quad 7\to $Hệ số của $f(x)$ chia hết cho $7\to đpcm$

   Bình luận