Cho đa thức P(x) = (1+2x)^12. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu- tơn 27/11/2021 Bởi Madeline Cho đa thức P(x) = (1+2x)^12. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu- tơn
Đáp án: Giải thích các bước giải: `(1+2x)^{12}=` \(\sum\limits_{k = 0}^{12}\) `C_{12}^{k}.2^{k}.x^{k}` Gọi `a_{k}=C_{12}^{k}.2^{k}` Giả sử `a_{k}` là HS lớn nhất trong các HS `a_{0},a_{1},a_{2},…,a_{12}` Ta có: \(\begin{cases} a_{k} \ge a_{k+1}\\a_{k} \ge a_{k-1}\end{cases}\) `⇔` \(\begin{cases} C_{12}^{k}.2^{k} \ge C_{12}^{k+1}.2^{k+1}\\C_{12}^{k}.2^{k} \ge C_{12}^{k-1}.2^{k-1}\end{cases}\) `⇔` \(\begin{cases} \dfrac{12!}{(12-k)!.k!} \ge \dfrac{12!.2}{(11-k)!.(k+1)!}\\ \dfrac{12!}{(12-k)!.k!} \ge \dfrac{12!}{(13-k)!.(k-1)!}\end{cases}\) `⇔` \(\begin{cases} \dfrac{1}{12-k} \ge \dfrac{2}{k+1}\\ \dfrac{2}{k} \ge \dfrac{1}{13-k}\end{cases}\) `⇔` \(\begin{cases} k+1 \ge 24-2k\\ 26-2k \ge k\end{cases}\) `⇔ \frac{23}{3} \le x \le \frac{26}{3}` Mà `k \in \mathbb{Z}` `⇒ k=8` Vậy HS lớn nhất trong KT trên là `C_{12}^{8}.2^{8}=126\ 720` Bình luận
Bạn xem hình
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`(1+2x)^{12}=` \(\sum\limits_{k = 0}^{12}\) `C_{12}^{k}.2^{k}.x^{k}`
Gọi `a_{k}=C_{12}^{k}.2^{k}`
Giả sử `a_{k}` là HS lớn nhất trong các HS `a_{0},a_{1},a_{2},…,a_{12}`
Ta có:
\(\begin{cases} a_{k} \ge a_{k+1}\\a_{k} \ge a_{k-1}\end{cases}\)
`⇔` \(\begin{cases} C_{12}^{k}.2^{k} \ge C_{12}^{k+1}.2^{k+1}\\C_{12}^{k}.2^{k} \ge C_{12}^{k-1}.2^{k-1}\end{cases}\)
`⇔` \(\begin{cases} \dfrac{12!}{(12-k)!.k!} \ge \dfrac{12!.2}{(11-k)!.(k+1)!}\\ \dfrac{12!}{(12-k)!.k!} \ge \dfrac{12!}{(13-k)!.(k-1)!}\end{cases}\)
`⇔` \(\begin{cases} \dfrac{1}{12-k} \ge \dfrac{2}{k+1}\\ \dfrac{2}{k} \ge \dfrac{1}{13-k}\end{cases}\)
`⇔` \(\begin{cases} k+1 \ge 24-2k\\ 26-2k \ge k\end{cases}\)
`⇔ \frac{23}{3} \le x \le \frac{26}{3}`
Mà `k \in \mathbb{Z}`
`⇒ k=8`
Vậy HS lớn nhất trong KT trên là `C_{12}^{8}.2^{8}=126\ 720`