Cho đa thức p(x)= ax mũ 2+bx+cx với a,b,c là các số nguyên p(0),p(1) là các số lẻ.CM rằng p(x) ko thể có nghiệm là số nguyên
Cho đa thức p(x)= ax mũ 2+bx+cx với a,b,c là các số nguyên p(0),p(1) là các số lẻ.CM rằng p(x) ko thể có nghiệm là số nguyên
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Xét đa thức $p(x) = ax² + bx + c (1)$ với $a, b, c ∈ Z$
Giả sử đa thức $(1)$ có nghiệm nguyên $k ∈ Z$
$p(k) = ak² + bk + c = 0 (2)$
Theo giả thiết ta có:
$p(0) = a.0² + b.0 + c = c$ lẻ
$p(1) = a.1² + b.1 + c = a + b + c $ lẻ $ ⇒ a + b$ chẵn
$ ⇒a; b$ đồng thời chẵn hoặc đồng thời lẻ.
– TH1: nếu $ a; b$ đồng thời chẵn, đặt $:a = 2m; b = 2n$
thay vào $(2) : 2(mk² + nk) + c = 0 ⇔ 2(mk² + 2nk) = – c$
Vô lý vì vế trái là sỗchẵn, vế phải là số lẻ
– TH 2 nếu $ a; b$ đồng thời lẻ, đặt $a = 2m + 1; b = 2n + 1$
thay vào $(2) : (2m + 1)k² + (2n + 1)k + c = 0$
$ ⇔ 2mk² + 2nk + k² + k + c = 0$
$ ⇔ 2(mk² + nk) + k(k + 1) = – c$
Vô lý vì vế trái là sỗchẵn, vế phải là số lẻ
vì $k; k + 1$ là 2 số nguyên liên tiếp $ ⇒k(k + 1)$ chẵn
Bài toán được chúng minh
bà làm
Xét đa thức P(x)=ax²+bx+c(1)p(x)=ax²+bx+c(1) với a,b,c∈Za,b,c∈Z
Giả sử đa thức (1)(1) có nghiệm nguyên k∈Zk∈Z
P(k)=ak²+bk+c=0(2)p(k)=ak²+bk+c=0(2)
Theo giả thiết ta có:
P(0)=a.0²+b.0+c=cp(0)=a.0²+b.0+c=c lẻ
P(1)=a.1²+b.1+c=a+b+cp(1)=a.1²+b.1+c=a+b+c lẻ ⇒a+b⇒a+b chẵn
⇒a;b⇒a;b đồng thời chẵn hoặc đồng thời lẻ.
– TH1: nếu a;ba;b đồng thời chẵn, đặt :a=2m;b=2n:a=2m;b=2n
thay vào (2):2(mk²+nk)+c=0⇔2(mk²+2nk)=−c(2):2(mk²+nk)+c=0⇔2(mk²+2nk)=−c
Vô lý vì vế trái là sỗchẵn, vế phải là số lẻ
– TH 2 nếu a;ba;b đồng thời lẻ, đặt a=2m+1;b=2n+1a=2m+1;b=2n+1
thay vào (2):(2m+1)k²+(2n+1)k+c=0(2):(2m+1)k²+(2n+1)k+c=0
⇔2mk²+2nk+k²+k+c=0⇔2mk²+2nk+k²+k+c=0
⇔2(mk²+nk)+k(k+1)=−c⇔2(mk²+nk)+k(k+1)=−c
Vô lý vì vế trái là sỗchẵn, vế phải là số lẻ
vì k;k+1k;k+1 là 2 số nguyên liên tiếp ⇒k(k+1)⇒k(k+1) chẵn
=> đpcm