cho đa thức Q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d với a,b,c,d ∈ Z. Biết Q(x) chia hết cho 3 với mọi x
∈ Z . Chứng tỏ các hệ số a,b,c,d đều chia hết cho 3
cho đa thức Q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d với a,b,c,d ∈ Z. Biết Q(x) chia hết cho 3 với mọi x
∈ Z . Chứng tỏ các hệ số a,b,c,d đều chia hết cho 3
Giải thích các bước giải:
Ta có $Q(x)\quad\vdots\quad 3, \forall x\in Z$
$\to \begin{cases} Q(0)\quad\vdots\quad 3\\ Q(1)\quad\vdots\quad 3\\ Q(-1)\quad\vdots\quad 3\end{cases}$
$\to \begin{cases}a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d\quad\vdots\quad 3\\ a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d\quad\vdots\quad 3\\ a\cdot (-1)^3+b\cdot (-1)^2+c\cdot (-1)+d\quad\vdots\quad 3\end{cases}$
$\to \begin{cases}d\quad\vdots\quad 3\\ a+b+c+d\quad\vdots\quad 3\\ -a+b-c+d\quad\vdots\quad 3\end{cases}$
$\to \begin{cases}d\quad\vdots\quad 3\\ a+b+c\quad\vdots\quad 3\\ -a+b-c\quad\vdots\quad 3\end{cases}$
$\to \begin{cases}d\quad\vdots\quad 3\\ a+b+c\quad\vdots\quad 3\\ (-a+b-c)+(a+b+c)\quad\vdots\quad 3\end{cases}$
$\to \begin{cases}d\quad\vdots\quad 3\\ a+b+c\quad\vdots\quad 3\\ 2b\quad\vdots\quad 3\end{cases}$
$\to \begin{cases}d\quad\vdots\quad 3\\ a+b+c\quad\vdots\quad 3\\ b\quad\vdots\quad 3\end{cases}$
$\to \begin{cases}d\quad\vdots\quad 3\\ a+c\quad\vdots\quad 3\\ b\quad\vdots\quad 3\end{cases}$