Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{n}{3^n}$. a) C/m:$\frac{u_{n+1}}{u_{n}}<\frac{2}{3}$ với mọi $n\leq2$. b) C/m dãy $(u_{n})$ có giới hạn 0. Em cả

0 bình luận về “Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{n}{3^n}$. a) C/m:$\frac{u_{n+1}}{u_{n}}<\frac{2}{3}$ với mọi $n\leq2$. b) C/m dãy $(u_{n})$ có giới hạn 0. Em cả”

1. a,

   $u_n=\dfrac{n}{3^n}$

   $u_{n+1}=\dfrac{n+1}{3^{n+1}}=\dfrac{n+1}{3^n.3}$

   $\to \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n+1}{3^n.3}.\dfrac{3^n}{n}$

   $=\dfrac{n+1}{3n}$

   $n\ge 2\to n+1\ge 3; 3n\ge 6$

   $\to \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\ge \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

   b,

   Xét bất đẳng thức: $n<2^n\forall n\ge 1$

   Với $n=1$ ta có $1<2^1$ (đúng)

   Giả sử BĐT đúng với $n=k\ge 1$:

   $k<2^k$

   CMR BĐT đúng với $n=k+1$:

   $k+1<2^{k+1}=2^k.2$

   Thật vậy: $k<2^k$

   $\Leftrightarrow k+1<2^k+1$

   Ta có $2^k+1-2^k.2=-2^k+1$

   $k\min=1$. Với $k=1$ ta có $-2+1=-1<0$

   Do đó $\forall k\ge 1$ thì $-2^k+1<0$

   $\Rightarrow 2^k+1<2^k.2$

   Vậy$k+1<2^k.2$ (đpcm)

   Ta có: $0<\dfrac{n}{3^n}<\dfrac{2^n}{3^n}$

   Mà $\lim 0=0; \lim\Big(\dfrac{2}{3}\Big)^n=0$

   $\to \lim u_n=0$

   Trả lời