Cho dãy số un thỏa mãn u1=1 và un+1=2/3un+4. Tìm lim un

0 bình luận về “Cho dãy số un thỏa mãn u1=1 và un+1=2/3un+4. Tìm lim un”

1. Đáp án:

   \[\lim {u_n} = 12\]

   Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   \(\begin{array}{l}
   {u_{n + 1}} = \frac{2}{3}{u_n} + 4\\
    \Leftrightarrow {u_{n + 1}} – 12 = \frac{2}{3}.{u_n} + 4 – 12\\
    \Leftrightarrow {u_{n + 1}} – 12 = \frac{2}{3}{u_n} – 8\\
    \Leftrightarrow {u_{n + 1}} – 12 = \frac{2}{3}\left( {{u_n} – 12} \right)\\
   {v_n} = {u_n} – 12 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   {v_1} = {u_1} – 12 =  – 11\\
   {v_{n + 1}} = \frac{2}{3}{v_n}
   \end{array} \right.
   \end{array}\)

   Suy ra \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân có \({v_1} =  – 11;\,\,\,\,q = \frac{2}{3}\)

   Do đó, 

   \(\begin{array}{l}
   {v_n} = {v_1}.{q^{n – 1}} = \left( { – 11} \right).{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n – 1}}\\
    \Leftrightarrow {u_n} – 12 = \left( { – 11} \right).{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n – 1}}\\
    \Rightarrow {u_n} = 12 – 11.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n – 1}}\\
   \lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n – 1}} = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \left( {12 – 11.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n – 1}}} \right) = 12\\

   \end{array}\)

   Vậy \(\lim {u_n} = 12\)

   Bình luận