Cho dãy ( un) biết: u1 = 2004, u2 = 2005
u (n+1) = ( 2un + u[n-1])/3 với n>= 2
c/m rằng dãy (vn) với vn = u[n+1] – un là cấp số nhân
lập công thức tính un theo n
Cho dãy ( un) biết: u1 = 2004, u2 = 2005
u (n+1) = ( 2un + u[n-1])/3 với n>= 2
c/m rằng dãy (vn) với vn = u[n+1] – un là cấp số nhân
lập công thức tính un theo n
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} = \frac{{2{u_n} + {u_{n – 1}}}}{3}\\
\Leftrightarrow 3{u_{n + 1}} = 2{u_n} + {u_{n – 1}}\\
\Leftrightarrow 3{u_{n + 1}} – 3{u_n} = – {u_n} + {u_{n – 1}}\\
\Leftrightarrow {u_{n + 1}} – {u_n} = – \frac{1}{3}\left( {{u_n} – {u_{n – 1}}} \right)
\end{array}\)
\({v_n} = {u_{n + 1}} – {u_n} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{v_1} = 1\\
{v_n} = – \frac{1}{3}{v_{n – 1}}
\end{array} \right.\)
Do đó, (vn) là một CSN có số đầu v1=1, công bội q=-1/3
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{v_n} = – \frac{1}{3}{v_{n – 1}}\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{v_1} = 1\\
{v_2} = – \frac{1}{3}\\
{v_3} = \frac{1}{9}\\
….\\
{v_n} = {\left( { – \frac{1}{3}} \right)^{n – 1}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_2} – {u_1} = 1\\
{u_3} – {u_2} = – \frac{1}{3}\\
{u_4} – {u_3} = \frac{1}{9}\\
…..\\
{u_{n + 1}} – {u_n} = {\left( { – \frac{1}{3}} \right)^{n – 1}}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left( {{u_2} – {u_1}} \right) + \left( {{u_3} – {u_2}} \right) + …. + \left( {{u_{n + 1}} – {u_n}} \right) = 1 – \frac{1}{3} + \frac{1}{9} – … + {\left( { – \frac{1}{3}} \right)^{n – 1}}\\
\Leftrightarrow {u_{n + 1}} – {u_1} = \frac{{{{\left( { – \frac{1}{3}} \right)}^n} – 1}}{{\left( { – \frac{1}{3}} \right) – 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = 2004 + \frac{{3\left( {1 – {{\left( {\frac{{ – 1}}{3}} \right)}^n}} \right)}}{4}
\end{array}\)