Cho $\Delta ABC$ cân ($AB = AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$, một điểm $D$ thuộc cung nhỏ $AB$. Trên tia đối của các tia $BD, CD$ lần lượt lấy các điểm $M;N$ sao cho $CN = BM$. Gọi giao điểm thứ hai của các đường $AM;AN$ với đường tròn $(O)$ theo thứ tự là $P$ và $Q$. $\Delta AMN$ là tam giác gì? Vì sao
Lời giải:
Ta có:
$\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (cùng chắn $\mathop{AD}\limits^{\displaystyle\frown}$)
$\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (hai góc kề bù tương ứng)
Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ACN$ có:
$\begin{cases}AB = AC\quad (gt)\\\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\quad (cmt)\\BM = CN\quad (gt)\end{cases}$
Do đó: $\triangle ABM=\triangle ACN\ (c.g.c)$
$\Rightarrow AM = AN$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow \triangle AMN$ cân tại $A$