Cho điểm M(1;2) và đg thẳng d đi qua M cẳt tia Ox,Oy tại A và B . Viết pt đg thẳng d trong trường hợp OA+OB đạt gtnn Giúp mk với

Giải thích các bước giải:

Ta có $(d)\cap$ tia $Ox,Oy$ tại $A ,B$

$\to A(a, 0), B(0,b), (a,b\ge 0)$

Nếu $ab=0\to a=0$ hoặc $b=0$

Nếu $a=0, b\ne 0\to$phương trình $AB$ là $x=0\to M(1, 2)\notin AB\to a=0, b\ne 0$ loại

Tương tự trường hợp $a\ne 0 , b=0 $(loại)

Nếu $a=b=0\to A\equiv B\equiv O(0,0)$

$\to AB=0$ khi đó phương trình $(d)$ là đường thẳng đi qua $(0, 0)$ và $(1,2)$ là $y=2x$

Nếu $ab\ne 0\to a, b>0$

$\to$Phương trình đường thẳng $(d)$ là:

$\dfrac{x-a}{0-a}=\dfrac{y-0}{b-0}$

$\to \dfrac{x-a}{-a}=\dfrac{y}{b}$

$\to \dfrac{x}{-a}+1=\dfrac{y}{b}$

$\to \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$

Mà $(d)$ đi qua $M(1,2)$

$\to\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=1$

$\to 1=\dfrac{1^2}a+\dfrac{(\sqrt{2})^2}{b}$

$\to 1\ge \dfrac{(1+\sqrt{2})^2}{a+b}$

$\to a+b\ge (1+\sqrt{2})^2$

Lại có:

$OA+OB=a+b$

$\to OA+OB\ge (1+\sqrt{2})^2$

Dấu = xảy ra khi $\begin{cases}\dfrac1a=\dfrac{\sqrt{2}}{b}\\ \dfrac1a+\dfrac2b=1\end{cases}$

$\to b=2+\sqrt{2}, a=1+\sqrt{2}$

$\to$Phương trình đường thẳng $(d)$ là:

$\dfrac{x}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{y}{2+\sqrt{2}}=1$

Kết hợp cả $2$ trường hợp $\to GTNN_{AB}=0$ khi đó $(d):y=2x$