Cho điểm M nằn ngoài đường tròn (O;R) sao cho OM = 3R. Qua M vẽ tiếp truyến MA,MB với đường tròn (O;R) (A, B là các tiếp điểm) và kẻ cát tuyến MCD của đường tròn (O;R) cắt đoạn thẳng OA (C nằm giữ M và D). gọi là trung điểm của dây cung CD và H là giao điểm của AB với OM. a) chứng minh tứ giác AIOB là
tứ giác nội tiếp đường tròn , xác định tâm của đường tròn này.
Lời giải:
Ta có: $I$ là trung điểm dây cung $CD\quad (gt)$
$\Rightarrow OI\perp CD$ (mối quan hệ đường kính – dây cung)
Gọi $K$ là trung điểm $OM$
+) Xét $\triangle OIM$ vuông tại $I$ có:
$K$ là trung điểm cạnh huyền $OM$
$\Rightarrow KI = KO = KM\qquad (1)$
+) Xét $\triangle OAM$ vuông tại $A$ có:
$K$ là trung điểm cạnh huyền $OM$
$\Rightarrow KA = KO = KM\qquad (2)$
+) Xét $\triangle OBM$ vuông tại $B$ có:
$K$ là trung điểm cạnh huyền $OM$
$\Rightarrow KB = KO = KM\qquad (3)$
Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow O, I, A, M ,B$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$, đường kính $OM$
$\Rightarrow AIOB$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm $I$, đường kính $OM$