Cho đồ thị hàm số c y = 2 x + 4 chia âm x + 1 và đường thẳng d y = k nhân x trừ k cộng 1 tìm K để đường thẳng d giao với đồ thị c bằng 2 nghiệm phân biệtA,B. A B nhỏ nhất
Cho đồ thị hàm số c y = 2 x + 4 chia âm x + 1 và đường thẳng d y = k nhân x trừ k cộng 1 tìm K để đường thẳng d giao với đồ thị c bằng 2 nghiệm phân b
By Margaret
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
\[\begin{array}{l}
\left( C \right):y = \frac{{2x + 4}}{{ – x + 1}}\\
d:y = kx – k + 1
\end{array}\]
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:
\[\begin{array}{l}
\frac{{2x + 4}}{{ – x + 1}} = kx – k + 1\\
\Leftrightarrow 2x + 4 = \left( {kx – k + 1} \right)\left( { – x + 1} \right)\\
\Leftrightarrow 2x + 4 + \left( {kx – k + 1} \right)\left( {x – 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 2x + 4 + k{x^2} – kx – kx + k + x – 1 = 0\\
\Leftrightarrow 2x + 4 + k{x^2} – 2kx + x + k – 1 = 0\\
\Leftrightarrow k{x^2} – \left( {2k – 3} \right)x + k + 3 = 0
\end{array} (1)\]
Để (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt A,B thì pt (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x1,x2
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 0\\
{\left( {2k – 3} \right)^2} – 4k.\left( {k + 3} \right) > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 0\\
4{k^2} – 12k + 9 – 4{k^2} – 12k > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 0\\
k < \frac{3}{8} \end{array} \right. \end{array}\] khi đó, áp dụng định lí Vi-et ta có: \[\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{2k - 3}}{k}\\ {x_1}.{x_2} = \frac{{k + 3}}{k} \end{array} \right.\] \[\begin{array}{l} A\left( {{x_1};k{x_1} - k + 1} \right)\\ B\left( {{x_2};k{x_2} - k + 1} \right)\\ \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {k^2}{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \\ = \sqrt {\left( {{k^2} + 1} \right)\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}.{x_2}} \right)} \end{array}\] Thay Vi-et vào , sau đó rút gọn, cho AB nhỏ nhất để tìm k