Cho đoạn thẳng AB cố định. O là trung điểm của AB trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa AB vẽ hai tai Ax và By vuông góc với AB tại A và B. Trên Ax lấy C bất kì, qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt By tại D. Chứng minh rằng:
a, AC + BD = CD ( Hướng dẫn: Gọi I là trung điểm của CD)
b, CO và DO là phân giác của góc ACD và BDC.
c, Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với CD. Chứng minh: Tam giác AHB vuông.
d, Tam giác AHB đồng dạng với tam giác COD.
a) Ta có: AC \(\perp AB\left(gt\right)\left(1\right)\)
Và \(BD\perp AB\left(gt\right)\left(2\right)\)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow AC\) // BD
Nên tứ giác ABDC là hình thang
Mà O là trung điểm của AB (gt) (3)
Và I là trung điểm của CD (gt) (4)
Từ (3), (4) \(\Rightarrow OI\) là đường trung bình của hình thang ABDC (5)
\(\Rightarrow OI=\dfrac{AC+BD}{2}\) (6)
Mà OI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD của \(\Delta COD\) vuông tại O (7)
\(\Rightarrow OI=\dfrac{CD}{2}\left(8\right)\)
Từ (6), (8) \(\Rightarrow AC+BD=CD\)
b) Từ (5) \(\Rightarrow OI\)// AC
\(\Rightarrow\) \(\widehat{ACO}=\widehat{IOC}\) (2 góc so le trong) (9)
Ta lại có: IC = ID = \(\dfrac{CD}{2}\)(10)
Từ (8), (10) \(\Rightarrow OI=IC\)
\(\Rightarrow\Delta OIC\) cân tại I
\(\Rightarrow\widehat{IOC}=\widehat{ICO}\) (11)
Từ (9), (11) \(\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{ICO}\) (12)
\(\Rightarrow\) CO là tia phân giác của \(\widehat{ACD}\)
Tương tự từ (5) \(\Rightarrow\) OI // BD
\(\Rightarrow\widehat{IOD}=\widehat{BDO}\) (2 góc so le trong) (13)
Từ (8), (10) \(\Rightarrow OI=ID\)
\(\Rightarrow\Delta OID\) cân tại I
\(\Rightarrow\widehat{IOD}=\widehat{ODI}\) (14)
Từ (13), (14) \(\Rightarrow\widehat{BDO}=\widehat{ODI}\)
\(\Rightarrow DO\) là tia phân giác của \(\widehat{BDC}\)
c) Xét 2 tam giác vuông CAO và CHO ta có:
CO là cạnh chung (15)
Từ (12), (15) \(\Rightarrow\Delta CAO=\Delta CHO\) (cạnh huyền-góc nhọn) (16)
\(\Rightarrow AO=HO\) (17)
Mà AO = BO =\(\dfrac{AB}{2}\) (gt)
\(\Rightarrow HO=\dfrac{AB}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta AHB\) vuông tại H (18)
d) Từ (17) \(\Rightarrow\) \(\Delta AOH\) cân tại O
\(\Rightarrow\widehat{OAH}=\widehat{OHA}\) (19)
Từ (16) \(\Rightarrow\) CA = CH
\(\Rightarrow\Delta ACH\) cân tại C
Mà CO là đường phân giác của \(\widehat{ACD}\)
\(\Rightarrow CO\) cũng là đường cao
\(\Rightarrow CO\perp AH\) (20)
Mà CO \(\perp OD\left(gt\right)\left(21\right)\)
Từ (20), (21) \(\Rightarrow AH\) // OD
\(\Rightarrow\widehat{DOH}=\widehat{OHA}\) (22)
Từ (19), (22) \(\Rightarrow\widehat{OAH}=\widehat{DOH}\) (23)
Mà \(\widehat{DOH}+\widehat{COH}=90^o\)(2 góc phụ nhau)
Và \(\widehat{OCH}+\widehat{COH}=90^o\)(2 góc phụ nhau)
\(\Rightarrow\widehat{DOH}=\widehat{OCH}\) (24)
Từ (23), (24) \(\Rightarrow\widehat{OAH}=\widehat{OCH}\) (25)
Từ (18) \(\Rightarrow\) \(\widehat{AHB}=90^o\)
Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta COD\) ta có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{COD}=90^o\) (26)
Từ (25), (26) \(\Rightarrow\Delta AHB\sim\Delta COD\left(G-G\right)\)