Cho Đường thẳng ∆ : {x=1-2t
{y=3+t
Và ∆’: 2x-3y-1= 0
a) Tìm giao điểm và tính góc giữa ∆ và ∆’
b) Viết PT đường thẳng (d1) qua M(2;-5) và d1//∆
c) viết PT tổng quát của (d2) qua N(4;-8) và d2 vuông góc ∆’
d) Tìm K trên ∆ mà khoảng cách từ K đến ∆’ là 4.
Đáp án:
a) \(\left( {\dfrac{{23}}{7};\dfrac{{13}}{7}} \right)\) là tọa độ giao điểm của Δ và Δ’
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
a)vtcp:{\overrightarrow u _\Delta } = \left( { – 2;1} \right)\\
\to vtpt:{\overrightarrow n _\Delta } = \left( {1;2} \right)
\end{array}\)
Phương trình tổng quát đường thẳng Δ đi qua A(1;3) và có \(vtpt:{\overrightarrow n _\Delta } = \left( {1;2} \right)\)
\(\begin{array}{l}
x – 1 + 2\left( {y – 3} \right) = 0\\
\to x + 2y – 7 = 0
\end{array}\)
Tọa độ giao điểm của Δ và Δ’ là nghiệm của hệ phương trình
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y – 7 = 0\\
2x – 3y – 1 = 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{23}}{7}\\
y = \dfrac{{13}}{7}
\end{array} \right.
\end{array}\)
⇒ \(\left( {\dfrac{{23}}{7};\dfrac{{13}}{7}} \right)\) là tọa độ giao điểm của Δ và Δ’
Gọi \(\alpha \) là góc giữa Δ và Δ’
\(\begin{array}{l}
\to \cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{n_{\Delta ‘}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\Delta ‘}}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {1.2 – 2.3} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} }} = \dfrac{4}{{\sqrt {65} }}\\
\to \alpha = 60,255^\circ
\end{array}\)
b) Do (d1) song song Δ
\( \to vtpt:{\overrightarrow n _d} = \left( {1;2} \right)\)
Phương trình đường thẳng (d1) đi qua M(2;-5) và có \(vtpt:{\overrightarrow n _d} = \left( {1;2} \right)\)
\(\begin{array}{l}
x – 2 + 2\left( {y + 5} \right) = 0\\
\to x + 2y + 8 = 0
\end{array}\)
c) Do (d2) vuông góc Δ’
\(\begin{array}{l}
\to vtcp:{\overrightarrow u _d} = vtpt:{\overrightarrow n _{\Delta ‘}} = \left( {2; – 3} \right)\\
\to vtpt:{\overrightarrow n _d} = \left( {3;2} \right)
\end{array}\)
Phương trình đường thẳng (d2) đi qua N(4;-8) và có \(vtpt:{\overrightarrow n _d} = \left( {3;2} \right)\)
\(\begin{array}{l}
3\left( {x – 4} \right) + 2\left( {y + 8} \right) = 0\\
\to 3x + 2y + 4 = 0
\end{array}\)
d) Do K∈Δ
⇒ K(1-2t;3+t)
Do khoảng cách từ K đến Δ’ là 4
\(\begin{array}{l}
\to d\left( {K;\left( {\Delta ‘} \right)} \right) = 4\\
\to \dfrac{{\left| {2\left( {1 – 2t} \right) – 3\left( {3 + t} \right) – 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = 4\\
\to \left| { – 7t – 7} \right| = 4\sqrt {13} \\
\to \left[ \begin{array}{l}
– 7t – 7 = 4\sqrt {13} \\
– 7t – 7 = – 4\sqrt {13}
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
t = – \dfrac{{7 + 4\sqrt {13} }}{7}\\
t = \dfrac{{ – 7 + 4\sqrt {13} }}{7}
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
K\left( {\dfrac{{21 + 8\sqrt {13} }}{7};\dfrac{{14 – 4\sqrt {13} }}{7}} \right)\\
K\left( {\dfrac{{21 – 8\sqrt {13} }}{7};\dfrac{{14 + 4\sqrt {13} }}{7}} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)