cho đường thẳng 2x+y-2=0 và điểm A(6;5) . Điểm A’ đối xứng với A qua (D) có tọa độ là
By Amaya
cho đường thẳng 2x+y-2=0 và điểm A(6;5) . Điểm A’ đối xứng với A qua (D) có tọa độ là
0 bình luận về “cho đường thẳng 2x+y-2=0 và điểm A(6;5) . Điểm A’ đối xứng với A qua (D) có tọa độ là”
Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta có: \(2.6 + 5 – 2 = 15 \ne 0 \Rightarrow A \notin d.\)
Ta có: \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {2;\,\,1} \right).\)
Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) và vuông góc với \(d \Rightarrow \Delta \) nhận \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {-1;2} \right)\) làm VTPT
\( \Rightarrow \Delta : x – 2y + 4 = 0\)
Gọi \(H\left( {a;\,\,b} \right)\) là hình chiếu của \(A\) trên đường thẳng \(d.\)
Gọi \(I\) là giao điểm của \(d\) và \(\Delta \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(H\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(d \Rightarrow I\) là trung điểm của\(HA \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 2.0 – 1 = -1\\{y_H} = 2.(-2) – 2 = -6\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {-1;\,\,-6} \right).\)
Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta có: \(2.6 + 5 – 2 = 15 \ne 0 \Rightarrow A \notin d.\)
Ta có: \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {2;\,\,1} \right).\)
Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) và vuông góc với \(d \Rightarrow \Delta \) nhận \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {-1;2} \right)\) làm VTPT
\( \Rightarrow \Delta : x – 2y + 4 = 0\)
Gọi \(H\left( {a;\,\,b} \right)\) là hình chiếu của \(A\) trên đường thẳng \(d.\)
Gọi \(I\) là giao điểm của \(d\) và \(\Delta \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y – 2 = 0\\x – 2y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = -2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;\,\,-2} \right)\)
\(H\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(d \Rightarrow I\) là trung điểm của\(HA \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 2.0 – 1 = -1\\{y_H} = 2.(-2) – 2 = -6\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {-1;\,\,-6} \right).\)
Đáp án:
\(A’\left( { – 6; – 1} \right)\)
Giải thích các bước giải:
Gọi I là hình chiếu của A lên (d) và I∈(d)
\(\begin{array}{l}
\to I\left( {t;2 – 2t} \right)\\
\to \overrightarrow {AI} = \left( {t – 6; – 3 – 2t} \right)\\
vtpt:\overrightarrow {{n_d}} = \left( {2;1} \right) \to vtcp:{\overrightarrow u _d} = \left( {1; – 2} \right)\\
Do:AI \bot \left( d \right)\\
\to \overrightarrow {AI} .{\overrightarrow u _d} = 0\\
\to t – 6 – 2\left( { – 3 – 2t} \right) = 0\\
\to 5t = 0\\
\to t = 0\\
\to I\left( {0;2} \right)
\end{array}\)
Do A’ đối xứng A qua (d)
⇒AA’⊥(d)
Mà AI ⊥(d)
⇒I là trung điểm AA’
\( \to \left\{ \begin{array}{l}
6 + {x_{A’}} = 2.0\\
5 + {y_{A’}} = 2.2
\end{array} \right. \to A’\left( { – 6; – 1} \right)\)