Cho đường tròn (C) : $x^{2}$ + $y^{2}$ – 2x – 6y + 6 = 0. Gọi A, B là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ điểm M ( -3;1 ) đến đường tròn (C) . d

0 bình luận về “Cho đường tròn (C) : $x^{2}$ + $y^{2}$ – 2x – 6y + 6 = 0. Gọi A, B là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ điểm M ( -3;1 ) đến đường tròn (C) . d”

1. Đáp án:

   \(d\left( {O;d} \right) = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\)

   Giải thích các bước giải:

   Gọi phương trình đường thẳng đi qua M là y=k(x+3)+1=kx+3k+1
   => kx-y+3k+1=0 (\(\Delta\))
   Đường tròn (C) có tâm I(1;3) bán kính R=2.
   (d) tiếp xúc với (C) => d(I;d)=R=2
   \(\begin{array}{l}
   \frac{{\left| {k – 3 + 3k + 1} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 2 \Leftrightarrow \left| {4k – 2} \right| = 2\sqrt {{k^2} + 1} \\
   \Leftrightarrow 16{k^2} – 16k + 4 = 4{k^2} + 4\\
   \Leftrightarrow 12{k^2} – 16k = 0 \Leftrightarrow k = 0\,\,hoac\,\,k = \frac{4}{3}\\
   \Rightarrow \Delta :\,\,y = 1\,\,hoac\,\,\Delta :\,\,y = \frac{4}{3}x + 5\\
   y = 1 \Rightarrow {x^2} – 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow A\left( {1;1} \right)\\
   Pt\,\,AB\,\,di\,\,qua\,\,\,A\,\,va\,\,nhan\,\,\overrightarrow {IM} = \left( { – 4; – 2} \right) = – 2\left( {2;1} \right)\,\,la\,\,1\,\,VTPT\\
   \Rightarrow AB:\,\,2\left( {x – 1} \right) + 1\left( {y – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y – 3 = 0\\
   Lay\,\,M\left( {x;y} \right) \in AB,\,\,goi\,\,M’\left( {x’;y’} \right) = {Q_{\left( {O;{{45}^0}} \right)}}\left( M \right)\\
   \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   x’ = x\frac{{\sqrt 2 }}{2} – y\frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
   y’ = x\frac{{\sqrt 2 }}{2} + y\frac{{\sqrt 2 }}{2}
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}x’ + \frac{{\sqrt 2 }}{2}y’\\
   y = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}x’ + \frac{{\sqrt 2 }}{2}y’
   \end{array} \right.\\
   \Rightarrow M\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}x’ + \frac{{\sqrt 2 }}{2}y’; – \frac{{\sqrt 2 }}{2}x’ + \frac{{\sqrt 2 }}{2}y’} \right) \in AB\\
   \Rightarrow 2\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}x’ + \frac{{\sqrt 2 }}{2}y’} \right) + \left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{2}x’ + \frac{{\sqrt 2 }}{2}y’} \right) – 3 = 0\\
   \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2}x’ + \sqrt 2 y’ – 3 = 0\\
   \Leftrightarrow \sqrt 2 x’ + 2\sqrt 2 y’ – 3\sqrt 2 = 0\\
   \Rightarrow d:\,\,\sqrt 2 x’ + 2\sqrt 2 y’ – 3\sqrt 2 = 0\\
   \Rightarrow d\left( {O;d} \right) = \frac{{\left| { – 3\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {2 + 8} }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}
   \end{array}\)

   Trả lời