$Cho$ $đường$ $tròn$ $(O)$$,$ $bán$ $kính$ $R.$ $Từ$ $một$ $điểm$ $M$ $ở$ $ngoài$ $đường$ $tròn,$ $kẻ$ $hai$ $tiếp$ $tuyến$ $MA$ $và$ $MB$ $với$ $đường$ $tròn$ $(A,B$ $là$ $các$ $tiếp$ $điểm).$ $Qua$ $A,$ $kẻ$ $hai$ $đường$ $thẳng$ $//$ $MO$ $∩$ $(O)$ $tại$ $E$ $(E$ $\neq$ $A),$ $đường$ $thẳng$ $ME$ $cắt$ $đường$ $tròn$ $tại$ $F$ $(F$ $\neq$ $E),$ $AF$ $∩$ $MO$ $=$ ${N},$ $MO$ $∩$ $AB$ $=$ ${H}.$ $Chứng$ $minh$ $:$
$a)$ $Tứ$ $giác$ $MAOB$ $nội$ $tiếp$ $đường$ $tròn$
$b)$ $MN^{2}$ $=$ $NF.NA$ $và$ $MN$ $=$ $NH$
$c)$ $\frac{HB^{2}}{HF^{2}}$ – $\frac{EF}{MF}$ $=$ $1$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$a)$ $Cm$ $:$ $Tứ$ $giác$ $MAOB$ $nội$ $tiếp$ $đường$ $tròn$
$Xét$ $(O)$ $có$ $:$
$+)$ $MA$ $là$ $tiếp$ $tuyến$
$⇒$ $MAO$ $=$ $90^{o}$
$+)$ $MB$ $là$ $tiếp$ $tuyến$
$⇒$ $MBO$ $=$ $90^{o}$
$Xét$ $tứ$ $giác$ $MAOB$ $có$ $:$
$MAO$ $+$ $MBO$ $=$ $90^{o}$ + $90^{o}$ = $180^{o}$
$⇒$ $Tứ$ $giác$ $MAOB$ $nội$ $tiếp$ $(DHNB)$
$b)$ $Cm$ $:$ $MN^{2}$ $=$ $NF.NA$
$Xét$ $(O)$ $có$ $:$
$+)$ $E_{1}$ = $\frac{1}{2}$ $sđ$ $cung$ $AF$ $(góc$ $nội$ $tiếp)$ $(1)$
$+)$ $A_{1}$ = $\frac{1}{2}$ $sđ$ $cung$ $AF$ $(góc$ $tạo$ $bởi$ $tia$ $tiếp$ $tuyến$ $và$ $dây$ $cung)$ (2)
$Từ$ $(1)$ $và$ $(2)$ $ta$ $được$ $:$
$E_{1}$ $=$ $A_{1}$
$Mà$ $:$ $E_{1}$ $=$ $M_{1}$ $(AE//MO)$
$⇒$ $A_{1}$ $=$ $M_{1}$
$Xét$ $ΔNFM$ $và$ $ΔMNA$ $có$ $:$
$A_{1}$ $=$ $M_{1}$ $(cmt)$
$MNA$ $chung$
$⇒$ $ΔNFM$ ~ $ΔMNA$ $(g.g)$
$⇒$ $\frac{NF}{MN}$ $=$ $\frac{MN}{NA}$ $(cặp$ $tỉ$ $lệ$ $đồng$ $dạng)$
$⇒$ $MN^{2}$ $=$ $NF.NA$ $(đpcm)$
$CM$ $:$ $MN$ = $NH$