Cho đường tròn (O) đường kính AB=25cm.Trên đường kính AB lấy điểm H sao cho AH=9cm đường thẳng qua H và vuông góc với AB cắt đường tròn O tại C và D
a/Chứng minh ABC vuông và tính độ dài cạnh AC BC của tam giác ABC
b/Đường thẳng qua D // với AC cắt BC tại E và cắt AB tại F.Chứng minh các điểm C,E,F,H cùng thuộc 1 đường tròn và xác định tâm của đường tròn ấy
c/Chứng minh tứ giác ACFD là hình thôi
d/Gọi M là trung điểm của AC.Chứng minh các đường thẳng AE,CF,MB đồng quy
Giải thích các bước giải:
a.Vì $C\in (O), AB$ là đường kính
$\rightarrow AC\perp BC\rightarrow \Delta ABC$ vuông tại C
Ta có: $HB=AB-HA=16$
Xét $\Delta ABC, CH\perp AB, AC\perp BC$
$\rightarrow$Áp dụng các định lý trong tam giác vuông ta có:
$HC^2=HA.HB=9.16=144\rightarrow HC=12$
$\rightarrow AC=\sqrt{HC^2+AH^2}=15$
$BC=\sqrt{HC^2+BH^2}=20$
b.$DE\perp BC\rightarrow \widehat{CEF}=90^o$
$\rightarrow C,E,F$ thuộc đường tròn đường kính CF
Ta cũng có: $\widehat{CHO}=90^o\rightarrow C,F,H$ thuộc đường tròn đường kính CF
$\Rightarrow C,E,F,H$ cùng thuộc 1 đường tròn có tâm là trung điểm CF
c.Vì $CD\perp AB, AB$ là đường kính
$\rightarrow C,D$ đối xứng qua AB
$\rightarrow HC=HD$
Lại có $DF//AC$
$\rightarrow \Delta ACH=\Delta FDH(g.c.g)$
$\rightarrow AH=FH$
$\rightarrow H$ cũng là trung điểm AF
$\rightarrow \Diamond ACFD $ là hình bình hành
$\rightarrow \Diamond ACFD$ là hình thoi do $CD\perp AF$