Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ đường thắng d là tiếp tuyến của (O) tại
Lấy điểm M bất kì thuộc đường tròn (M khác A và B), tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung điển
của AM, tia CO cắt d tại E.
a) Chứng minh rằng bốn điểm O, B, N, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng CA.CN = CO.CE.
c) Xác định vị trí điểm M để 2AM + AN đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu a : Ta có : ΔOMA cân tại O và AC=MC nên OC⊥ AM hay ˆOCN=90
Xét tứ giác OBNC ta có :
OCN^=90độ ( cmt )
OBN^=90độ ( Tiếp tuyến vuông góc với bán kính )
⇒ˆOCN+ˆOBN=180 độ
⇒ OBNC là tứ giác nội tiếp (đpcm )
⇒bốn điểm O, B, N, C cùng thuộc một đường tròn.
câu b ta cóˆ CAO+ˆANB=90 độ
ˆCEN+ˆANB=90 độ
⇒ˆCAO=ˆCEN
Xét tam giác CAO và tam giác CEN ta có :
ˆACO=ˆECN =90 độ
ˆCAO=ˆCEB(cmt
⇒ΔCAO∼ΔCEN(g−g)
⇒CA/CE=CO/CN⇒CA.CN=CO.CE ( đpcm )
CÂU C Xét tam giác AMB và tam giác ABN ta có :
ˆ BAM:chung
ˆ AMB=ˆABN(=90 độ)
⇒ΔAMB∼ΔABN(g−g)
⇒AM/AB=AB/AN⇒AM.AN=ABˆ2=4Rˆ2
Áp dụng BĐT Cô – si ta có : 2AM+AN≥2√2AM.AN=2√8Rˆ2=4R√2
Vậy GTNN của 2AM + AN là 4R√2khi và chỉ khi M là trung điểm của AN
chúc bạn học tốt