cho đường tròn(O) đường kính AB., dây CF vuông góc với OA tại H. gọi I là trung điểm của CH , AI cắt đường tròn tại D. gọi M là giao của AC và BD, N l

0 bình luận về “cho đường tròn(O) đường kính AB., dây CF vuông góc với OA tại H. gọi I là trung điểm của CH , AI cắt đường tròn tại D. gọi M là giao của AC và BD, N l”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Bạn tự vẽ hình nha.

   $a)$ Gọi $MN∩AB=E$

   Thấy $ΔABC$ nội tiếp $(O)$ đường kính $AB$

   $⇒ΔABC$ vuông tại $C⇒AC⊥BC⇒AM⊥BC$

   Thấy $ΔABD$ nội tiếp $(O)$ đường kính $AB$

   $⇒ΔABD$ vuông tại $D⇒AD⊥BD⇒AD⊥BM$

   Xét $ΔAMB$ có:

   $AM⊥BC⇒BC$ là đường cao

   $AD⊥BM⇒AD$ là đường cao

   Do $3$ đường cao trong $1$ tam giác cắt nhau tại $1$ điểm mà $AD∩BC=N$

   $⇒N$ là trực tâm $ΔABM$

   $⇒MN$ là đường cao $⇒MN⊥AB$ tại $E$

   Xét $ΔMCN$ vuông tại $C$ có $K$ là trung điểm $MN$

   $⇒CK$ là đường trung tuyến ứng với $MN$

   `⇒CK=MK=NK=\frac{1}{2}MN⇒ΔCKN` cân tại $K$

   $⇒∠KCN=∠KNC$

   Do $∠ENB$ và $∠CNK$ đối đỉnh

   $⇒∠ENB=∠CNK=∠KCN$

   Ta có: $OC=OB$ (cùng là bán kính $(O)$)

   $⇒ΔOCB$ cân tại $O⇒∠OCB=∠OBC=∠NBE$

   Xét $ΔNEB$ vuông tại $E$

   $⇒∠ENB+∠EBN=90^o⇒∠KCN+∠OCB=90^o$

   $⇒∠KCO=90^o⇒KC⊥CO$

   $⇒KC$ là tiếp tuyến $(O)(đpcm)$

   $b)$ Gọi $PB∩CH=I’$

   Kẻ tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$ cắt $PK$ tại $G$

   $⇒BG⊥AB$

   Do $AP$ là tiếp tuyến $(O)⇒AP⊥AB$ 

   Mà $CH⊥AB(GT)⇒AP////CH////GB$

   $⇒I’H////AB;I’C////GB$

   Do $AP;PC$ là tiếp tuyến $(O)⇒AP=PC(1)$

         $CG;GB$ là tiếp tuyến $(O)⇒CG=GB(2)$

   Xét $ΔAPB$ có `I’H//AB⇒\frac{I’H}{AP}=\frac{I’B}{BP}(3)` (hệ quả định lí Ta-lét)

         $ΔPGB$ có $I’C////GB$

   `⇒\frac{I’B}{BP}=\frac{CG}{PG}(4)` (định lí Ta-lét) và `\frac{PC}{PG}=\frac{I’C}{BG}(*)` (hệ quả định lí Ta-lét)

   Từ `(*)⇒\frac{BG}{PG}=\frac{I’C}{PC}(5)`

   Từ $(1);(2);(3);(4);(5)⇒I’C=I’H$

   $⇒I’$ là trung điểm $CH$

   Mà $I$ là trung điểm $CH⇒I≡I’$

   Mà $I’∈BP⇒I∈BP$

   $⇒B,I,P$ thẳng hàng (đpcm)

   Bình luận