Cho đường tròn (O) đường kính AB.Từ A vẽ tia tiếp tuyến BC với đường tròn, trên BC lấy M sao cho BM>R.Từ M vẽ tia tiếp tuyến thứ 2 MC(C là tiếp điểm), đường thẳng MC cắt đường thẳng AB tại E
a)Chứng minh tứ giác MCOB nội tiếp
b)Chứng minh EC^2=EA.EB
c)Tia AC cắt đường trung trực của AB tại D.Chứng minh 5 điểm B,O,C,D,M thẳng hàng
a)Ta có OB vuông BM (BM là tiếp tuyến)
Suy ra góc OBM = 90°
OC vuông MC (MC là tiếp tuyến)
Suy ra góc OCM = 90°
Do đó tứ giác BMCO nội tiếp
b)Xét ∆ECB và ∆EAC có
Góc CEB: góc chung
Góc ECA = góc EBC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Do đó ∆ECB ~ ∆EAC (g.g)
Suy ra EC/EA = EB/EC
Suy ra EC^2 = EA.EB
c)Gọi I là trung điểm của OM
Suy ra IO = IB = IM = IC (1)
Do ∆IOB cân tại I
Nên góc IBO = góc IOB
Ta lại có góc IBO = góc DAB (D thuộc trung trực của AB nên ∆DAB cân tại D)
Suy ra góc IOB = góc DAB
Suy ra DA // OI
Mà O là trung điểm của AB
Suy ra I là trung điểm DB (tính chất đường trung bình)
Suy ra ID = IB (2)
Từ (1)(2) suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác BOCDM
Hay B, O, C, D, M cùng thuộc một đường tròn