Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB và hai tiếp tuyến Ax ,By . một tiếp tuyến khác tại điểm M cắt Ax ở C và By ở D
a) cm: CD=AC+BD
b) cm: tam giác COD vuông
c) cm: AB^2 = 4AC . BD
d) AM cắt OC tại I ,BM cắt OD tại K . Tứ giác OIMK là hình gì? định vị trí điểm M để OIMK là hình vuông
a) Ta có:
$CA, CM$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $M$
$\Rightarrow CA = CM$
Tương tự, $DB = DM$
Ta được: $CD = CM + DM = CA + DB$
b) Do $CA, CM$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $M$
$\Rightarrow CO$ là trung trực của $\widehat{AOM}$
$\Rightarrow \widehat{AOC} = \widehat{MOC} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOM}$
Tương tự ta được:
$\widehat{BOD} = \widehat{MOD} = \dfrac{1}{2}\widehat{BOM}$
Do đó ta có:
$\widehat{COD} = \widehat{MOC} + \widehat{MOD}$
$=\dfrac{1}{2}\widehat{AOM} + \dfrac{1}{2}\widehat{BOM}$
$= \dfrac{1}{2}(\widehat{AOM} +\widehat{BOM})$
$= \dfrac{1}{2}.180^o = 90^o$
$\Rightarrow ΔCOD$ vuông tại $O$
c) Xét $ΔACO$ và $ΔBOD$ có:
$\widehat{A} = \widehat{B} = 90^o$
$\widehat{ACO} = \widehat{BOD}$ (cùng phụ $\widehat{AOC}$)
Do đó $ΔACO\sim ΔBOD \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AC}{BO} = \dfrac{AO}{BD}$
$\Rightarrow AO.BO = AC.BD$
$\Rightarrow R^2 = AC.BD$
$\Rightarrow 4R^2 = 4AC.BD$
$\Rightarrow AB^2 = 4AC.BD$
d) Ta có:
$OC$ là trung trực của $AM$
$\Rightarrow OC\perp AM$
$\Rightarrow \widehat{OIM} = 90^o$
Tương tự ta được: $\widehat{OKM} = 90^o$
$\Rightarrow OIMK$ là hình chữ nhật
Do đó $OIMK$ là hình vuông $\Leftrightarrow OM$ là phân giác của $\widehat{IOK}$
$\Leftrightarrow \widehat{MOI} = \widehat{MOK}$
hay $\widehat{MOC} = \widehat{MOD}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\widehat{AOM} =\dfrac{1}{2}\widehat{BOM}$
$\Leftrightarrow \widehat{AOM} = \widehat{BOM}$
mà $\widehat{AOM} + \widehat{BOM} = 180^o$
nên $\widehat{AOM} = \widehat{BOM} = 90^o$
$\Rightarrow M$ là điểm chính giữa $\overparen{AB}$
Cách 2:
Hình chữ nhật $OIMK$ là hình vuông
$\Leftrightarrow MI = MK$
$\Leftrightarrow MA = MB$
$\Leftrightarrow M$ là điểm chính giữa $\overparen{AB}$