Cho đường tròn (O;R), đường kính AB=2R. d1,d2 lần lượt là hai tiếp tuyến của (O) tại A và B. Gọi I là trung điểm của OA, lấy điểm E trên đường tròn (O) khác A và B. Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại M và N.
2, Chứng minh AM.BN = AI.BI
3, Chứng minh góc MIN = 90 độ
4, Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm E của (O). Tính diện tích tam giác MIN theo R khi E,I,F thẳng hàng
– Giúp mình với ạ –
Hình bạn tự vẽ nhé !
2. Xét 2 Δ vuông MAI và IBN
Ta có ∠NIB = ∠IMA ( góc có cạnh thẳng góc )
→ ΔMAI ᔕ ΔIBN ( gg )
→ $\frac{AM}{IB}$ = $\frac{AI}{BN}$
→ AM.BN = AI.BI ( đpcm ) ( 1 )
3. Xét tứ giác MAIE có ∠A = ∠E = 1v ( đối nhau ) nên chúng nội tiếp trong đường tròn đường kính MI
Tương tự ta có tứ giác ENBi nội tiếp đường tròn đường kính IN. Vậy ∠ENI = ∠EBI ( cùng chắn cung EI )
Tương tự ∠EMI = ∠EAI ( cùng chắn cung EI )
Mà ∠EAI + ∠EBI = 1v ( ΔEAD ⊥ E )
→ ∠MIN = 180° – (∠EMI + ∠ENI )
= 180° – 1v = 1v ( đpcm )
4. Gọi G là điêm rđói xứng của F qua AB . Ta có AM + BN = 2OG ( 2 ) ( Vì tứ giác AMNB là hình thang và cạnh OG là cạnh trung bình của AM và BN )
Ta có : AI = $\frac{R}{2}$ , BI = $\frac{3R}{2}$
( 1 )( 2 )→AM + BN = $\frac{3R²}{4}$
Vậy Am , BN là nghiệm của phương trình X² – 2RX + $\frac{3R²}{4}$ = 0
→ AM = $\frac{R}{2}$ hay BN = $\frac{3R}{2}$ . Vậy ta có 2 Δ⊥cân là MAI cân tại A và NBI cân tại B
→ MI= $\frac{R \sqrt{2}}{2}$ = $\frac{R}{\sqrt{2} }$ và NI = $\frac{3R\sqrt{2} }{2}$ =$\frac{3R}{\sqrt{2} }$
→ S$_{MIN}$ = $\frac{1}{2}$ .$\frac{R}{\sqrt{2} }$ .$\frac{3R}{\sqrt{2} }$ = $\frac{3R²}{4}$