Cho đường tròn `(O;R)` tiếp xúc với `4` cạnh của hình thang `ABCD (AB////CD)`, trong đó `E,F,G,H` thứ tự là tiếp điểm của `(O;R)` với các cạnh `AB,BC,

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Không mất tính tổng quát giả thiết $AB < CD$ (hình)

Đặt $: EA = x; EB = FB = y; FC = GC = z $

Ta có $: x + y = \dfrac{4R}{3} (1); y + z = 3R (2)$

Dễ thấy $ΔBOC$ vuông tại $O$ đường cao $OF$ nên có hệ thức:

$ FB.FC = OF² ⇔ yz = R² (3)$

$(2); (3) ⇒ y; z$ là nghiệm $PT : t² – 3Rt + R² = 0$

Giải ra $ y = \dfrac{(3 – \sqrt{5})R}{2} (4) < z = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}R $

Từ $(1); (4) ⇒ x = \dfrac{4R}{3} – \dfrac{(3 – \sqrt{5})R}{2} = \dfrac{(3\sqrt{5} – 1)R}{6}$

$ ⇒ \dfrac{FB}{FA} = \dfrac{y}{x} = \dfrac{9 – 3\sqrt{5}}{3\sqrt{5} – 1} $