Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại C, C nằm giữa A và B. Từ A vẽ tiếp tuyến AD (D là tiếp điểm, D khác C). Trong góc DAO vẽ đường thẳng d đi qua A và cắt (O) tại I và K ( AI < AK). Lấy H là trung điểm của đoạn thẳng IK. Chứng minh tứ giác ADHO là tứ giác nội tiếp Đường thẳng DH cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Chứng minh CP // AK. Gọi E là giao điểm của DC và AO; Q là giao điểm của CD và OH. Chứng minh OE.OA = OH.OQ và KQ là tiếp tuyến của (O).
Xét ΔCAD và ΔCEA có:
ˆC chung
^CAD=^CEA (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp cùng chắn cung AD)
⇒ΔCAD∼ΔCEA (g.g)
⇒CACE=CDCA (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒CA2=CD>CE (đpcm)
Do H là trung điểm của DE nên OH⊥DE (quan hệ giữa đường kính và dây cung)
⇒^OHC=90o
và có ^OAC=90o (do AC là tiếp tuyến của (O))
⇒AOHC nội tiếp đường tròn đường kính (OC)
Tâm của đường tròn đường kính (OC) là trung điểm của OC.
ΔABC⊥ cân đỉnh A
có K là giao của CB và (O) nên K∈(O)
⇒^AKB=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒AK⊥CB
⇒AK=KB⇒ΔAKB vuông cân đỉnh K có KO là đường trung tuyến nên cũng là đường cao
⇒KO⊥AB⇒^AOK=90o
SquạtAOK=S(O,R)4=πR24
Qua E dựng đường thẳng song song với MN cắt AB tại I, cắt BD tại F
^IEH=^HCO (hai góc ở vị trí so le trong)
^HAO=^HCO (góc nội tiếp cùng chắn cung OH của (OC))
⇒^IEH=^HAO
⇒E,A cùng nhìn cạnh HI dưới hai góc bằng nhau nên AHIE nội tiếp
⇒^IHE=^IAE (góc nội tiếp cùng chắn cung IE)
^IAE=^BDE (góc nội tiếp cùng chắn cung BE của (O))
⇒^IHE=^BDE⇒IH//BD
Có H là trung điểm của DE nên I là trung điểm của EF
ΔBOM có IF//MO theo ta-lét ta có:
IFOM=BIBO (1)
ΔBON có IE//ON theo Ta-lét ta có:
BIBO=IEON (2)
Từ (1) và (2) suy ra IFOM=IEON mà IE=IF, I trung điểm của EF
⇒OM=ON⇒O là trung điểm của NM
Chúc bẹn hok tốt !
#CựGỉai