cho đường tròn(O;R). từ điểm M cách O một khoảng dài 2R kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn, A và B là các tiếp điểm . Bán kính đường tròn nội tiếp

Lời giải:

Gọi $H, I$ lần lượt là giao điểm giữa $OM$ với $AB$ và $(O)$

Ta có:

$\begin{cases}MA = MB\quad \text{(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)}\\OA = OB =R\end{cases}$

$\Rightarrow OM$ là trung trực của $AB$

$\Rightarrow IA = IB$

$\Rightarrow sđ\mathop{IA}\limits^{\displaystyle\frown}= sđ\mathop{IB}\limits^{\displaystyle\frown}$

$\Rightarrow \widehat{ABI}=\widehat{BAI}$ (góc nội tiếp tương ứng)

Lại có: $\widehat{MAI}=\widehat{ABI}$

$\quad \widehat{MBI}=\widehat{BAI}$

(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung – góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Do đó:

$\begin{cases}\widehat{BAI}=\widehat{MAI}\\\widehat{ABI}=\widehat{MBI}\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}\text{AI là phân giác $\widehat{MAB}$}\\\text{AI là phân giác $\widehat{MBA}$}\end{cases}$

$\Rightarrow I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle MAB$

Từ $I$ kẻ $IH\perp MA$

$\Rightarrow IH$ là bán kính đường tròn nội tiếp $\triangle MAB$

Xét $\triangle MAO$ có:

$\begin{cases}IH//OA\quad (\perp MA)\\MI = IO =\dfrac12OM\end{cases}$

$\Rightarrow IH=\dfrac12OA =\dfrac{R}{2}$