Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC=R căn 3 cố định .1 điểm A di chuyển trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn.Vẽ đường kính AM của đường tròn tâm O .Các đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a,CM: các tứ giác BCEF,AEHF nội tiếp
b,CM: BHCM là HBH và tính độ dài AH
c, Kẻ DP vuông góc với BE tại P, Đường thẳng qua P và vuông góc với đường kính AM cắt CF tại Q. CMR: QD vuông góc với CF
Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC=R căn 3 cố định .1 điểm A di chuyển trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn.Vẽ đường kính AM của đường tròn tâm
By Raelynn
Đáp án+ Giải thích các bước giải:
a) Ta có: $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o \Rightarrow BCEF$ nội tiếp
$\widehat{AFH}=widehat{AEH}=90^o \Rightarrow AEHF$ nội tiếp
b) Do $AM$ là đường kính của $(O)$ nên $\widehat{ABM}=90^o \Rightarrow MB⊥AB$
Lại có $CF⊥AB$
$\Rightarrow MB$//$CF$ hay $MB$//$BH$
Tương tự: $MC$//$BH$
$\Rightarrow BHCM$ là hình bình hành
Gọi $I$ là giao điểm của $BC$ và $HM$
Khi đó $I$ là trung điểm của $BC,HM$
$\Rightarrow BI=IC=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$
Do $I$ là trung điểm của $BC$ nên $OI⊥BC$
Ta có: $OI^2+IC^2=OC^2 \Rightarrow OI=\dfrac{R}{2}$
Do $OI⊥BC,AD⊥BC \Rightarrow OI$//$AH$
Xét $ΔAHM$ có $ OI$//$AH$ nên $\dfrac{OI}{AH}=\dfrac{ON}{AM}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow AH=2.OI=R$