Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định thỏa mãn OA = 2R. Một đường kính BC quay quanh O sao cho A, B, C không thẳng hàng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường OA ở P (khác A). Đường thẳng AB, AC cắt (O) ở điểm thứ hai là D và E. Nối DE cắt OA ở K. Chứng minh:
1) Các tam giác OPB, AOC đồng dạng và 4 điểm P,E,K,C cùng nằm trên 1 đường tron
2) AK.AP = AE.AC
3) Đường thẳng DE đi qua một điểm cố định
4) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đi qua điểm cố định F từ đó suy ra vị trí CB để diện tích tứ giác ABPC lớn nhất
Giúp mk với :3
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1) $∠BOP = ∠AOC (1)$( đối đỉnh)
$∠OBP = ∠OAC(2)$ (cùng chắn cung $CP$ của đường tròn $(ABC)$)
$ (1); (2) ⇒ ΔOBP ≈ ΔOAC (g.g) (đpcm)$
$ ∠CEK = ∠CBD $ (cùng chắn cung $CD$ của đường tròn $(O)$)
$ = ∠CPK $(cùng chắn cung $CA$ của đường tròn $(ABC)$)
$ ⇒ P; E; C; K $ cùng thuộc một đường tròn.
2) $PEKC nt ⇒ ΔACP ≈ ΔAKE(g.g) $ (chung góc $A$)
$ ⇒ \dfrac{AK}{AE} = \dfrac{AC}{AP} ⇔ AK.AP = AE.AC$
3) Theo câu 1)
$ ΔOBP ≈ ΔOAC ⇔ \dfrac{OP}{OB} = \dfrac{OC}{OA} $
$ ⇔ OP = \dfrac{OC.OB}{OA} = \dfrac{R.R}{2R} = \dfrac{R}{2}$
$ ⇒ AP = OA + OP = 2R + \dfrac{R}{2} = \dfrac{5R}{2} ⇒ P$ cố định.
Đường thẳng $OA$ cắt $(O)$ tại $M; N$
Chứng minh tương tự câu $2 ⇒ AM.AN = AE.AC$
mà theo câu 2) $AK.AP = AE.AC $
$ ⇒ AK.AP = AM.AN ⇒ AK = \dfrac{OM.ON}{OP} = R.3R$
$ = \dfrac{R.3R}{\dfrac{5R}{2}} = \dfrac{6R}{5} ⇒ K $ cố định
Hay $DE$ luôn đi qua $K$ cố định
4) $OA$ cắt đường tròn $(ADE)$ tại $F$
Chứng mình tương tự câu 2)ta có:
$ FK.AK = DK.EK = MK.NK$ ( không đổi)$ ⇒ F$ cố định
Vẽ $BH⊥OA$ tại $H ⇒ BH ≤ OB = R$
Ta có $ S_{ABPC} = 2S_{ABP} = AP.BH ≤ \dfrac{5R}{2}.R = \dfrac{5R²}{2} $
$ ⇒ S_{ABPC} = \dfrac{5R²}{2} ⇔ BH = R ⇔ BC⊥OA$