Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB.AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh OA là đường trung trực của BC
c) Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với (O) (E không trùng với D). Chứng minh DE/BE = BD//BA
d) Tính số đo góc HEC mình cần gấp ạ
a) Vì $\widehat {OBA} = \widehat {OCA} = {90^o}$ nên cả 4 điểm $O,B,A,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OA$
b) Chứng minh $AB=AC$. Mặt khác $OB=OC=R$
Do đó OA là trung trực của BC
c) Ta có DB là đường kính nên $\widehat {BED} = {90^o}$
Từ đó chứng minh được $\Delta BED \sim \Delta ABD\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}$
d) Chứng minh $\Delta BHO \sim \Delta ABO\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{HO}}{{HB}} = \dfrac{{BO}}{{BA}}$
Vì $BD=2BO,DC=2HO$ nên ta thu được $\dfrac{DE}{BE}=\dfrac{DC}{HB}$
Gọi $F$ là giao điểm của $DE$ và $BC$, ta chứng minh được $\widehat {CDE} = \widehat {HBE}$ vì cùng phụ cặp góc bằng nhau.
Do đó $\Delta CDE \sim \Delta HBE\left( {g.g} \right) \Rightarrow \widehat {CED} = \widehat {HEB}$
Từ đó ta tìm được $\widehat {HEC} = \widehat {HED} + \widehat {HEB} = {90^o}$