Cho đường tròn (O) và đường kính AB cố định, AB=2R. Gọi M là điểm di động trên đường tròn (O) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy điểm C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F. Chứng minh rằng:
a) AM.AN không đổi
b) Ba điểm A, E, F thẳng hàng
c) A là trọng tâm của tam giác BNF khi NF ngắn nhất
Cho đường tròn (O) và đường kính AB cố định, AB=2R. Gọi M là điểm di động trên đường tròn (O) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy điểm C là
By Iris
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Δ vuông ABM ~ Δ vuông ANC ⇒ AM/AB = AC/AM ⇔ AM.AN = AB.AC = 2R.R = 2R² ( không đổi)
b) ΔBFN có BC⊥FN và NM⊥BF ⇒ A là trực tâm ΔBFN ⇒ FA⊥BN mà AE⊥BN ⇒ E; A; F thẳng hàng
c) Δ vuông FNM ~ Δ vuông ANC ⇒ NF/AN = NM/NC ⇔ NF = NM.AN/NC = (AM + AN)AN/NC = (AM.AN + AN²)/NC = (AM.AN + AC² + NC²)/NC =(2R² + R² + NC²)/NC = 3R²/NC + NC ≥ 2√(3R²/NC).NC = 2R√3
Min NF = 2R√3 ⇔ 3R²/NC = NC ⇔ NC = R√3 = NF/2 ⇒ C là trung điểm NF ⇒ BC là trung tuyến ⊂ cạnh FN của ΔBFN mà BA/BC = 2/3 ⇒ A là trọng tâm ΔBFN