Cho đường tròn (O) và một dây BC cố định khác với đường kính. Lấy A là điểm bất kì trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn và AB < AC. Kẻ các đường cao AE, CF của tam giác ABC và đường kính AD của đường tròn (O). Gọi N là hình chiếu vuông góc của C trên AD. 1) Chứng minh bốn điểm A, E, N, C cùng thuộc một đường tròn và EN song song với BD. 2) Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại P và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai Q. Chứng minh AB.AC = AE.AD = AP.AQ.
Cho đường tròn (O) và một dây BC cố định khác với đường kính. Lấy A là điểm bất kì trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn và AB < AC. Kẻ các đường
By Emery
Giải thích các bước giải:
a) Xét tứ giác AENC có:
`\hat{AEC}=\hat{ANC}=90^{0}`
Mà 2 đỉnh E và N kề nhau cùng nhìn cạnh AC dưới 1 góc vuông
⇒ Tứ giác AENC nội tiếp
⇒ Bốn điểm A, E, N, C cùng thuộc một đường tròn
Ta có: `\hat{DBC}=\hat{DAC}` (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC)
hay `\hat{DBC}=\hat{NAC}`
Ta lại có: `\hat{NEC}=\hat{NAC}` (2 góc nội tiếp cùng chắn cung NC do tứ giác AENC nội tiếp)
⇒ `\hat{DBC}=\hat{NAC}`
⇒ `EN // BD` (đồng vị)
b) Xét ΔABD và ΔAEC, có:
`\hat{AEC}=\hat{ABD}=90°`
`\hat{ADB}=\hat{ACE}` (Cùng chắn cung AB)
Do đó: ΔABD ~ ΔAEC (g-g)
⇔`\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}` (2 cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇔ `AB.AC=AE.AD` (1)
Xét ΔABQ và ΔAPC, có:
`\hat{AQB}=\hat{ACP}` (Cùng chắn cung AB)
`\hat{BAQ}=\hat{QAC}` (AQ là tia phân giác `\hat{BAC}`)
Do đó: ΔABQ ~ ΔAPC (g – g)
⇔`\frac{AB}{AP}=\frac{AQ}{AC}`
⇔ `AB.AC=AP.AQ` (2)
Từ `(1) (2)` => `AB.AC = AE.AD = AP.AQ` (đpcm)