cho đường tròn tâm O bán kính R . Một đường thẳng d ko đi qua tâm O và căt đường tròn tại 2 điểm phân biệt A và B trên d lấy đỉm M sao cho A nằm giữa M và B từ M kẻ 2 tiếp tuyến MC và MD với đường tròn (C và D là các tiếp điểm)
a chứng minh rằng MCOD là tứ giác nội tiếp
b gọi I là giao điểm của AB . Đường thẳng IO căt tia MD tại K. Chứng minh rằng KD×KM=KO×KI
a. Xét tứ giác MCOD có
ˆ M D O = 90 độ(MD là tt)
ˆ M C O= 90 độ(MC là tt)
⇒ˆ M D O + ˆ M C O = 180 độ
Mà 2 đỉnh này ở vị trí đối nhau
=> Tứ giác MDOC nội tiếp đường tròn đường kính MO
2.Vì I là trung điểm của dây cung AB và OI đi qua AB
=> OI ⊥AB (đường kính đi qua trung điểm của 1 dây thì vuông góc với dây ấy)
Xét Δ M I Kvà Δ O D K có
ˆ M I K = ˆ O D K = 90 độ
ˆ D O K = ˆ I M K (Cùng phụ với ˆ M K O )
=> Δ M I K ≈Δ O D K ( g − g )
=> K I/K D = K M/K O ⇒ K I . K O = K M . K D ( đ p c m )
Đáp án:
Giải thích các b
1.Ta có: ˆMDO+ˆMCO=1800MDO^+MCO^=1800
=> Tứ giác MDOC nội tiếp đường tròn đường kính MO
=> 4 điểm M,D,O,C cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm)
2.Vì I là trung điểm của dây cung AB và OI đi qua AB => OI ⊥⊥AB (đường kính đi qua trung điểm của 1 dây thì vuông góc với dây ấy)
Xét ΔMIKΔMIKvà ΔODKΔODKcó
ˆMIK=ˆODK=900MIK^=ODK^=900
ˆDOK=ˆIMKDOK^=IMK^(Cùng phụ với ˆMKOMKO^)
=> ΔMIK ΔODK(g−g)ΔMIK ΔODK(g−g)
=> KIKD=KMKO⇒KI.KO=KM.KD(đpcm)KIKD=KMKO⇒KI.KO=KM.KD(đpcm)
3. Gọi giao điểm của CD và OM là H
Ta có DM và MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M => OH là tia phân giác của ˆDOCDOC^và MO là tia phân giác của ˆFMEFME^(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
ΔODCΔODCcân tại O (OD=OC) có OH là tia phân giác => OH cũng là đường cao của ΔODCΔODC
=>OH ⊥⊥DC hay OM ⊥⊥DC
Ta có: EF//CD và OM ⊥⊥CD => OM ⊥⊥EF
Xét ΔMOFΔMOFvà ΔMOEΔMOEcó
ˆMOF=ˆMOE=900MOF^=MOE^=900
MO là cạnh chung
ˆFMO=ˆEMOFMO^=EMO^
=> ΔMOF=ΔMOE(cgv−gnk)ΔMOF=ΔMOE(cgv−gnk)
Mà SMOF+SMOE=SMEFSMOF+SMOE=SMEF
⇒SMOE=12SMEF⇒SMOE=12SMEF
SMEF=2SMOE=OC.ME=R.ME=R(MC+CE)SMEF=2SMOE=OC.ME=R.ME=R(MC+CE)
Ta có: ME=MC+CE≥2√MC.CE=2√OC2=2RME=MC+CE≥2MC.CE=2OC2=2R(BĐT Cô-si)
⇒SMEF=R.(MC+CE)≥R.2R=2R2⇒SMEF=R.(MC+CE)≥R.2R=2R2
Dấu “=” xảy ra khi MC=CE=R => OM=R√2OM=R2
Vậy M là giao điểm của (O,R√2)(O,R2)và đường thẳng d thì SMEF đạt giá trị nhỏ nhất
ước giải:
CHÚC HOK GIỎIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII