Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lấy điểm M sao cho MA > R. Vẽ tiếp tuyến MD của (O) (D là tiếp điểm và D khác A), gọi H là giao điểm của OM và AD.
a) Chứng minh: tứ giác MAOD nội tiếp và OH.OM = R^2.
b) Gọi C là giao điểm của MB với đường tròn (O). Chứng minh tứ giác AHCM nội tiếp và CHD = CAB.
c) Qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với OM. Đường thẳng d cắt tia MA tại I. Gọi K là trung điểm của OA và N là giao điểm của MK và IB. Chứng minh IK vuông góc MB.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Tiếp tuyến AC cắt tiếp tuyến CM tại C
⇒⇒ AC=CM và OC là phân giác của MOAˆMOA^
Tiếp tuyến BD cắt tiếp tuyến DM tại D
⇒⇒ BD=DM và OD là phân giác của BOMˆBOM^
Mặt khác: CD=CM+MC
⇔⇔ CD= AC+BD
Ta có: OC là phân giác của MOAˆMOA^
OD là phân giác của BOMˆBOM^
Mà MOAˆMOA^ và BOMˆBOM^ là hai góc kề bù
⇒⇒ CODˆ=90oCOD^=90o
b) Ta có: AC⊥ABAC⊥AB
BD⊥ABBD⊥AB
⇒AC//BD⇒AC//BD
Xét ΔBNDΔBND có: AC//BD
⇒CNBN=ACBD⇒CNBN=ACBD ( hệ quả của định lí Ta-let)
Mà AC=CM và BD=MD
⇒CNBN=CMMD⇒CNBN=CMMD
Xét ΔBCDΔBCD có:
CNBN=CMMD(cmt)CNBN=CMMD(cmt)
⇒MN//BD⇒MN//BD
c) CD là tiếp tuyến của (O)
⇒OM⊥CD⇒OM⊥CD tại M
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong ΔCOD(CODˆ=90o)ΔCOD(COD^=90o) ta được:
OM2=CM.MD⇔R2=CM.MDOM2=CM.MD⇔R2=CM.MD
Mặt khác: AC=MC và BD=MD
⇒R2=AC.BD⇒R2=AC.BD (không đổi)
a) Tiếp tuyến AC cắt tiếp tuyến CM tại C
⇒⇒ AC=CM và OC là phân giác của MOAˆMOA^
Tiếp tuyến BD cắt tiếp tuyến DM tại D
⇒⇒ BD=DM và OD là phân giác của BOMˆBOM^
Mặt khác: CD=CM+MC
⇔⇔ CD= AC+BD
Ta có: OC là phân giác của MOAˆMOA^
OD là phân giác của BOMˆBOM^
Mà MOAˆMOA^ và BOMˆBOM^ là hai góc kề bù
⇒⇒ CODˆ=90oCOD^=90o
b) Ta có: AC⊥ABAC⊥AB
BD⊥ABBD⊥AB
⇒AC//BD⇒AC//BD
Xét ΔBNDΔBND có: AC//BD
⇒CNBN=ACBD⇒CNBN=ACBD ( hệ quả của định lí Ta-let)
Mà AC=CM và BD=MD
⇒CNBN=CMMD⇒CNBN=CMMD
Xét ΔBCDΔBCD có:
CNBN=CMMD(cmt)CNBN=CMMD(cmt)
⇒MN//BD⇒MN//BD
c) CD là tiếp tuyến của (O)
⇒OM⊥CD⇒OM⊥CD tại M
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong ΔCOD(CODˆ=90o)ΔCOD(COD^=90o) ta được:
OM2=CM.MD⇔R2=CM.MDOM2=CM.MD⇔R2=CM.MD
Mặt khác: AC=MC và BD=MD
⇒R2=AC.BD⇒R2=AC.BD (không đổi)