Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm C thuộc (O) (C không trùng với A, B). gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC. Các đường thẳng AM và BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC và BM cắt nhau tại K.
a) Chứng minh rằng: tam giác ABI cân
b) Chứng minh tứ giác MICK nội tiếp
c) Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở N. Chứng minh đường thẳng NI là tiếp tuyến của đường tròn (B;BA) và NI vuông góc MO.
d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK cắt đường tròn (B;BA) tại D (D không trùng với I). Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Vì ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính AB (C thuộc đường tròn (O))
=> ΔABC vuông tại C
Vì AD là tiếp tuyến của (O), A là tiếp điểm
=> ΔABD vuông tại A
mà AC ⊥⊥ BD (ΔΔABC vuông tại C)
=> AB2=BC⋅BDAB2=BC⋅BD (HTL ΔΔ vuông)
b) Xét ΔOAM và ΔOCM có:
OA = OC (A và C cùng thuộc (O))
O1ˆ=O2ˆO1^=O2^ (OM là phân giác AOCˆAOC^)
OM chung
=> ΔOAM = ΔOCM (c.g.c)
=> MAOˆ=MCOˆ=90oMAO^=MCO^=90o
=> MC ⊥⊥ CO mà C thuộc (O)
=> MC là tiếp tuyến của (O)
c) Vì CH ⊥⊥ AB mà I thuộc CH => CI và IH cũng vuông góc với AB
Vì ΔOCA cân tại O có OM là phân giác
=> OM ⊥⊥ CA (t/c ΔΔ cân)
mà BC ⊥⊥ CA
=> OM // BC (qhệ vuông góc song song)
Xét ΔABD có:
O là trung điểm AB
OM // BC
=> M trung điểm AD (đlí đường TB Δ)
=> AM = MD
Xét ΔBMD có : CI //MD
⇒$\frac{CI}{MD}$ = $\frac{BI}{BM}$ (hquả đlí Ta-lét)
Xét Δ BMA có : IH // AM
$\frac{IH}{AM}$=$\frac{BI}{BM}$
Do đó CI = IH
⇔ I là trung điểmCH