Cho $(E): \dfrac{x^{2}}{8} + \dfrac{y^{2}}{4} = 1$ và $(d): x – \sqrt{2}y + 2 = 0$ a. CMR: $(d)$ cắt $(E)$ tại $2$ điểm phân biệt $A, B.$ Tính độ dài

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Tọa độ giao điểm $A(x_{1};y_{1}); B(x_{2};y_{2})$ của $(d)$ và $(P)$ là nghiệm HPT:

$\left \{ {{\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (1)} \atop {x – \sqrt[]{2}y + 2 = 0 (2)}} \right.$

Từ $(2) ⇒ x = \sqrt[]{2}y – 2 ⇒ x² = 2y² – 4\sqrt[]{2}y + 4$ thay vào $(1)$ quy đồng rút gọn có PT bậc 2:

$y² – \sqrt[]{2}y – 1 = 0 ⇒ y_{1,2} = \frac{\sqrt[]{2} ± \sqrt[]{6}}{2} ⇒ x_{1,2} = – 1 ± \sqrt[]{3}$ 

$AB² = (x_{2} – x_{1})² + (y_{2} – y_{1})² = (2\sqrt[]{3})² + (\sqrt[]{6})² = 18 ⇒ AB = 3\sqrt[]{2}$

b) Gọi $C(a; b) ∈ (E)$ Thay tọa độ C vào $(1) ⇒ a² + 2b² = 8 (3)$

Do $AB$ không đổi nên $S_{ΔABC}$ lớn nhất $⇔ CH$ lớn nhất ( $CH$ là khoảng cách từ $C$ đến $(d)$)

Áp dụng công thức tính khoảng cách điểm – đường thẳng; BĐT Giá trị tuyệt đối và BĐT Bunhiacopsky ta có:

$CH = \frac{|1.a – \sqrt[]{2}.b + 2|}{\sqrt[]{1² + \sqrt[]{2}²}} = \frac{|a – \sqrt[]{2}b + 2|}{\sqrt[]{3}} ≤ \frac{|1.a + (- 1)(\sqrt[]{2}b)| + |2|}{\sqrt[]{3}} (4)$

$ ≤ \frac{\sqrt[]{[1² + (- 1)²][a² + (\sqrt[]{2}b)²]} + 2}{\sqrt[]{3}} (5) = \frac{\sqrt[]{2(a² + 2b²)} + 2}{\sqrt[]{3}} = \frac{\sqrt[]{2.8} + 2}{\sqrt[]{3}} = 2\sqrt[]{3}$

$⇒ CH_{max} = 2\sqrt[]{3}$ khi đồng thời xảy ra dấu = ở $(4)$ và $(5)$

$⇔ a – \sqrt[]{2}b > 0; \frac{a}{1} = \frac{\sqrt[]{2}b}{-1} ⇔ a > \sqrt[]{2}b$ và $a = – \sqrt[]{2}b ⇒ a² = 2b²$

Thay vào $(3) : 2b² + 2b² = 18 ⇒ b = -\sqrt[]{2} ⇒ a = 2$

Vậy chọn $C(2; – \sqrt[]{2})$