Cho e hỏi câu ngu ngơ một tí, là pt nghiệm nguyên có 7 phương pháp, thì khi nào mk bt áp dụng vào phương pháp nào cho phù hợp với bài của mk ạ, có dạng tổng quát nào ko, e ms lm wen dạng này hoang mang quá
Cho e hỏi câu ngu ngơ một tí, là pt nghiệm nguyên có 7 phương pháp, thì khi nào mk bt áp dụng vào phương pháp nào cho phù hợp với bài của mk ạ, có dạng tổng quát nào ko, e ms lm wen dạng này hoang mang quá
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Thí dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
y3 – x3 = 91 (1)
Lời giải : (1) tương đương với (y – x)(x2 + xy + y2) = 91 (*)
Vì x2 + xy + y2 > 0 với mọi x, y nên từ (*) => y – x > 0.
Mặt khác, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y – x ; x2 + xy + y2 đều nguyên dương nên ta có bốn khả năng sau :
y – x = 91 và x2 + xy + y2 = 1 ; (I)
y – x = 1 và x2 + xy + y2 = 91 ; (II)
y – x = 3 và x2 + xy + y2 = 7 ; (III)
y – x = 7 và x2 + xy + y2 = 13 ; (IV)
Đến đây, bài toán coi như được giải quyết.
Phương pháp 2 : Sắp thứ tự các ẩn
Nếu các ẩn x, y, z, … có vai trò bình đẳng, ta có thể giả sử x ≤ y ≤ z ≤ … để tìm các nghiệm thỏa mãn điều kiện này. Từ đó, dùng phép hoán vị để => các nghiệm của phương trình đã cho.
Thí dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
x + y + z = xyz (2).
Lời giải :
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}.
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3.
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).
Thí dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
1/x + 1/y + 1/z = 2 (3)
Lời giải : Do vai trò bình đẳng của x, y, z, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. Ta có :
2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = 1.
Thay x = 1 vào (3) ta có :
1/y + 1/z + 1 = 2 => 1 = 1/y + 1/z ≤ 2/y => y ≤ 2
=> y = 1 => 1/z = 0 (vô lí)
hoặc y = 2 => 1/z = 2 => z = 2.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (3) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 2).
Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất chia hết
Phương pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm hoặc tìm nghiệm của phương trình.
Thí dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
x2 – 2y2 = 5 (4)
Lời giải : Từ phương trình (4) ta => x phải là số lẻ. Thay x = 2k + 1 (k thuộc Z) vào (4), ta được :
4k2 +4k + 1 – 2y2 = 5
tương đương 2(k2 + k – 1) = y2
=> y2 là số chẵn => y là số chẵn.
Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta có :
2(k2 + k – 1) = 4t2
tương đương k(k + 1) = 2t2 + 1 (**)
Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn, 2t2 + 1 là số lẻ => phương trình (**) vô nghiệm.
Vậy phương trình (4) không có nghiệm nguyên.
Thí dụ 5 : Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn :
x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2000 (5)
Lời giải : Ta có x3 – x = (x – 1).x.(x + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (với x là số nguyên). Do đó : x3 – x chia hết cho 3.
Tương tự y3 – y và z3 – z cũng chia hết cho 3. Từ đó ta có : x3 + y3 + z3 – x – y – z chia hết cho 3.
Vì 2000 không chia hết cho 3 nên x3 + y3 + z3 – x – y – z ≠ 2000 với mọi số nguyên x, y, z tức là phương trình (5) không có nghiệm nguyên.
Thí dụ 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
xy + x – 2y = 3 (6)
Lời giải : Ta có (6) tương đương y(x – 2) = – x + 3. Vì x = 2 không thỏa mãn phương trình nên (6) tương đương với:
y = (-x + 3)/(x – 2) tương đương y = -1 + 1/(x – 2).
Ta thấy : y là số nguyên tương đương với x – 2 là ước của 1 hay x – 2 = 1 hoặc x – 2 = -1 tương đương với x = 1 hoặc x = 3. Từ đó ta có nghiệm (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0).
Chú ý : Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (6) về dạng : x(y + 1) – 2(y + 1) = 1 tương đương (x – 2)(y + 1) = 1.
Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức
Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá này => các giá trị nguyên của ẩn này.
Thí dụ 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
x2 – xy + y2 = 3 (7)
Lời giải :
(7) tương đương với (x – y/2)2 = 3 – 3y2/4
Vì (x – y/2)2 ≥ 0 => 3 – 4y2/4 ≥ 0
=> -2 ≤ y ≤ 2 .
Lần lượt thay y = -2 ; 2 ; -1 ; 1 ; 0 vào phương trình để tính x. Ta có các nghiệm nguyên của phương trình là :
(x ; y) thuộc {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ; (1 ; -1)}.