Cho `f(x)` là một đa thức có hệ số nguyên biết `f(0)` và `f(1)` là các số lẽ. Chứng minh `f(x)` không có nghiệm nguyên.
Cho `f(x)` là một đa thức có hệ số nguyên biết `f(0)` và `f(1)` là các số lẽ. Chứng minh `f(x)` không có nghiệm nguyên.
Đáp án:
Đa thức `f(x)` không có nghiệm nguyên
Giải thích các bước giải:
Đặt: `f(x)=a_{n}.x^n+a_{n-1}.x^(n-1)+ …+a_{1}.x+a_{0}`
Ta có:
`f(0)=a_{n}.0^n+a_{n-1}.0^(n-1)+ …+a_{1}.0+a_{0}=a_{0}`
`=>a_{0}` lẻ
`f(1)=a_{n}.1^n+a_{n-1}.1^(n-1)+ …+a_{1}.1+a_{0}=a_{n}+a_{n-1}+ …+a_{1}+a_{0}` (là một số lẻ)
`=>a_{n}+a_{n-1}+ …+a_{1}` chẵn
`=>f(x)` lẻ
`=>f(x)\ne 0` (với mọi `x\in ZZ`)
Vậy đa thức `f(x)` không có nghiệm nguyên