Cho $\frac{1}{a}$+ $\frac{1}{b}$+ $\frac{1}{c}$ =1 CMR $c\sqrt{\frac{1}{3} (b^2+2a^2)}+ $ $a\sqrt{\frac{1}{3}(a^2+2b^2)}$+ $b\sqrt{\frac{1}{3} (a^2

Cho $\frac{1}{a}$+ $\frac{1}{b}$+ $\frac{1}{c}$ =1
CMR $c\sqrt{\frac{1}{3} (b^2+2a^2)}+ $ $a\sqrt{\frac{1}{3}(a^2+2b^2)}$+ $b\sqrt{\frac{1}{3} (a^2 + 2c^2)}$ $\geq$ abc

0 bình luận về “Cho $\frac{1}{a}$+ $\frac{1}{b}$+ $\frac{1}{c}$ =1 CMR $c\sqrt{\frac{1}{3} (b^2+2a^2)}+ $ $a\sqrt{\frac{1}{3}(a^2+2b^2)}$+ $b\sqrt{\frac{1}{3} (a^2”

  1. Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải: Với $a, b, c > 0$

    $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1 ⇔ ab + bc + ca = abc$

    Ta có$: 2(b – a)² ≥ 0 ⇔ 2b² + 2a² ≥ 4ab$

    $ ⇔ 3b² + 6a² ≥ b² + 4ab + 4a²$

    $ ⇔ \dfrac{1}{3}(b² + 2a²) ≥ \dfrac{1}{9}(b + 2a)²$

    $ ⇔ \sqrt{\dfrac{1}{3}(b² + 2a²)} ≥ \dfrac{1}{3}(b + 2a)$ 

    $ ⇔ c\sqrt{\dfrac{1}{3}(b² + 2a²)} ≥ \dfrac{1}{3}(bc + 2ca) (1)$ 

    Dấu $’=’ $ xảy ra $⇔ a = b > 0$

    Tương tự :

    $a\sqrt{\dfrac{1}{3}(c² + 2b²)} ≥ \dfrac{1}{3}(ca + 2ab) (2)$ 

    $b\sqrt{\dfrac{1}{3}(a² + 2c²)} ≥ \dfrac{1}{3}(ab + 2bc) (3)$ 

    $(1) + (2) + (3):$

    $ c\sqrt{\dfrac{1}{3}(b² + 2a²)} + a\sqrt{\dfrac{1}{3}(c² + 2b²)} + b\sqrt{\dfrac{1}{3}(a² + 2c²)} $

    $ ≥ ab + bc + ca = abc$

    Dấu $’=’ $ xảy ra $⇔ a = b = c > 0$

    Bình luận

Viết một bình luận