Cho $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ =0 ( x, y, z $\neq$ 0). Tính $\frac{yz}{x^{2}}$ + $\frac{xz}{y^{2}}$ + $\frac{xy}{z^{2}}$

0 bình luận về “Cho $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ =0 ( x, y, z $\neq$ 0). Tính $\frac{yz}{x^{2}}$ + $\frac{xz}{y^{2}}$ + $\frac{xy}{z^{2}}$”

1. Đáp án:

   $\sum = 3$

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y} + \dfrac 1z = 0$

   $\to \dfrac{xy + yz + zx}{xyz} = 0$

   $\to xy + yz + zx = 0$

   $\to \left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} + \dfrac{1}{z^2}\right)(xy + yz + zx) = 0$

   $\to \dfrac{xy + yz + zx}{x^2} + \dfrac{xy + yz + zx}{y^2} + \dfrac{xy + yz + zx}{z^2} = 0$

   $\to \dfrac yx + \dfrac{yz}{x^2} + \dfrac zx + \dfrac xy + \dfrac zy + \dfrac{zx}{y^2} + \dfrac{xy}{z^2} + \dfrac yz +\dfrac xz = 0$ $(*)$

   Mặt khác:

   $\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y} + \dfrac 1z = 0$

   $\to \begin{cases}1 + \dfrac xy + \dfrac xz = 0\\\dfrac yx + 1 + \dfrac yz = 0\\\dfrac zx + \dfrac zy + 1 = 0\end{cases}$

   $\to \dfrac xy + \dfrac xz +\dfrac yx + \dfrac yz +\dfrac zx + \dfrac zy = -3$

   Thay vào $(*)$ ta được:

   $\dfrac{yz}{x^2} + \dfrac{zx}{y^2} + \dfrac{xy}{z^2} – 3 = 0$

   $\to \dfrac{yz}{x^2} + \dfrac{zx}{y^2} + \dfrac{xy}{z^2} = 3$

   Bình luận