Cho hai biểu thức $A=\dfrac{\sqrt[]{x}+4}{\sqrt[]{x}-1}$ và
$B=\dfrac{3\sqrt[]{x}+1}{x+2\sqrt[]{x}-3}-\dfrac{2}{\sqrt[]{x}+3}$ (với $x\geq 0$, `xne 1`)
Tính giá trị của biểu thức A khi x=9
Chứng minh $B= \dfrac{1}{\sqrt[]{x}-1}$
Tìm tất cả giá trị của x để $\dfrac{A}{B}\geq \dfrac{x}{4}+5$
Đáp án + Giải thích các bước giải:
`ĐKXĐ:x≥0;x\ne1`
Thay `x=9 (TMĐKXĐ)` vào biểu thức `A` , ta được :
`A=(\sqrt{9}+4)/(\sqrt{9}-1)`
`=(3+4)/(3-1)`
`=(7)/(2)`
“
`B=(3\sqrt{x}+1)/(x+2\sqrt{x}-3)-(2)/(\sqrt{x}+3)`
`=(3\sqrt{x}+1)/((\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-1))-(2)/(\sqrt{x}+3)`
`=(3\sqrt{x}+1-2(\sqrt{x}-1))/((\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-1))`
`=(3\sqrt{x}+1-2\sqrt{x}+2)/((\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-1))`
`=(\sqrt{x}+3)/((\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-1))`
`=(1)/(\sqrt{x}-1)` ( đpcm )
“
`(A)/(B)≥(x)/(4)+5`
`<=>(\sqrt{x}+4)/(\sqrt{x}-1):(1)/(\sqrt{x}-1)≥(x)/(4)+5`
`<=>(\sqrt{x}+4)/(\sqrt{x}-1).(\sqrt{x}-1)≥(x)/(4)+5`
`<=>\sqrt{x}+4≥(x)/(4)+5`
`<=>(4(\sqrt{x}+4))/(4)≥(x+20)/(4)`
`<=>4(\sqrt{x}+4)≥x+20`
`<=>4\sqrt{x}+16≥x+20`
`<=>x-4\sqrt{x}+20-16≤0`
`<=>x-4\sqrt{x}+4≤0`
`<=>(\sqrt{x}-2)^{2}≤0 (1)`
Mà `(\sqrt{x}-2)^{2}≥0 (2) ∀x`
`(1);(2)=>\sqrt{x}-2=0`
`<=>\sqrt{x}=2`
`<=>x=4 (TM) `
Đáp án:
$\rm +) \ ĐKXĐ \ : \ x \geq 0 ; x \neq 1 \\ Tại \ x=9 \ (tmđk) \ giá \ trị \ của \ biểu \ thức \ A \ là: \\ A=\dfrac{\sqrt{9}+4}{\sqrt{9}-1} = \dfrac{3+4}{3-1} \\ = \dfrac{7}{2} \\+) \ B=\dfrac{3\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}-3}-\dfrac{2}{\sqrt{x}+4} \ \ (x \geq 0 ; x \neq 1) \\ = \dfrac{3\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-1)}-\dfrac{2}{\sqrt{x}+3} \\ = \dfrac{3\sqrt{x}+1-2(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-1)} \\ = \dfrac{3\sqrt{x}+1-2\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-1)} \\ = \dfrac{\sqrt{x}+3}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-1)}=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1} \ \ (đpcm)\\+) \ \dfrac{A}{B} \geq \dfrac{x}{4} + 5 \\ \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-1} \div \dfrac{1}{\sqrt{x}-1} \geq \dfrac{x}{4} + 5 \\ \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-1} . ( \sqrt{x} – 1 ) \geq \dfrac{x}{4} + 5 \\ \Leftrightarrow \sqrt{x}+4 \geq \dfrac{x+20}{4} \\ \Leftrightarrow \dfrac{4(\sqrt{x}+4}{4} \geq \dfrac{x+20}{4} \\ \Leftrightarrow 4\sqrt{x}+16 \geq x+20 \\ \Leftrightarrow x-4\sqrt{x}+20-16 \leq 0 \\ \Leftrightarrow x-4\sqrt{x}+4 \leq 0 \\ \Leftrightarrow (\sqrt{x}-2)^2 \leq 0 \\ Mà \ (\sqrt{x}-2)^2 \geq 0 \ \forall x \\ \to \sqrt{x}-2=0 \\ \Leftrightarrow \sqrt{x}=2 \\ \Leftrightarrow x = 4$