Cho hai đa thức `P(x)=x^(6n)+x^(5n)+x^(4n)+x^(3n)+x^(2n)+x^n+1` và `Q(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1` trong đó `n` là số nguyên dương chia hết cho `7`. Tì

0 bình luận về “Cho hai đa thức `P(x)=x^(6n)+x^(5n)+x^(4n)+x^(3n)+x^(2n)+x^n+1` và `Q(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1` trong đó `n` là số nguyên dương chia hết cho `7`. Tì”

1. Đáp án:

   $\text{$\dfrac{7}{Q(x)}$ khi $x \neq 1$ và chia hết khi $x=1$}$

   Giải thích các bước giải:

   $P(x)=x^{6n}+x^{5n}+x^{4n}….+x^{2n}+x^n+1$

   $\text{Vì $n \vdots 7$ nên ta đặt: $n=7k$ (k ∈ N)}$

   $⇒ P(x)=x^{6.7k}+x^{5.7k}+x^{4.7k}+……+x^{2.7k}+x^{7k}+1$

   $=(x^{6k})^7+(x^{5k})^7+(x^{4k})^7+……+(x^{2k})^7+(x^k)^7+1$

   $=(x^{6k})^7-1+(x^{5k})^7-1+……+(x^{2k})^7-1+(x^k)^7-1+7$

   $⇒ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{x^{6n}+x^{5n}+….+x^n+1}{x^6+x^5+…..+x+1}$ $(1)$

   $\text{*) Khi $x \neq 1$ thì:}$

   $(1)=\dfrac{(x-1)(x^{6n}+x^{5n}+….+x^n+1)}{(x-1)(x^6+x^5+….+x+1)}$

   $=\dfrac{(x-1)[x^{6k})^7-1+(x^{5k})^7-1+……+(x^k)^7-1+7]}{x^7-1}$

   $=\dfrac{(x-1)[(x^{6k})^7-1+(x^{5k})^7-1+……+(x^k)^7-1]+7(x-1)}{x^7-1}$

   $\text{Do $(x^{6k})^7-1 \vdots (x^7-1)$ và các hạng tử còn lại cũng $\vdots (x^7-1)$}$

   $\text{⇒ Số dư của phép chia P(x) cho Q(x) khi $x \neq 1$ là $\dfrac{7(x-1)}{x^7-1}=\dfrac{7}{Q(x)}$}$

   $\text{*) Khi $x=1$ thì:}$

   $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{1+1+1….+1}{1+1+1+….+1}=1$

   $\text{⇒ $P(x)$ chia cho $Q(x)$ dư $\dfrac{7}{Q(x)}$ khi $x \neq 1$ và chia hết khi $x=1$}$

   Bình luận