Cho hai đa thức sau: f(x) = ( x-1)(x+2) g(x) = x 3 + ax 2 + bx + 2 Xác định a và b biết nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của đa thức g(x).
Cho hai đa thức sau: f(x) = ( x-1)(x+2) g(x) = x 3 + ax 2 + bx + 2 Xác định a và b biết nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của đa thức g(x).
Đáp án:
$\\$
`f (x) = (x-1) (x+2)`
Cho `f (x) = 0`
`↔ (x-1)(x+2)=0`
`↔` \(\left[ \begin{array}{l}x-1=0\\x+2=0\end{array} \right.\)
`↔` \(\left[ \begin{array}{l}x=0+1\\x=0-2\end{array} \right.\)
`↔` \(\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=-2\end{array} \right.\)
Vậy `x=1,x=-2` là 2 nghiệm của `f (x)`
$\\$
Biết nghiệm của `f (x)` cũng là nghiệm của `g (x)`
`-> x=1,x=-2` là 2 nghiệm của `g (x)`
$\\$
`g (x) = x^3 + ax^2 + bx + 2`
Vì `x=1` là nghiệm của `g (x)`
`-> f (1) = 0`
`-> 1^3 + a . 1^2 + b . 1 + 2 = 0`
`-> 1 + a . 1 + b + 2 = 0`
`-> 1 +a + b + 2 = 0`
`-> a + b + (1+2) =0`
`-> a + b + 3 = 0`
`-> a + b = 0 – 3`
`-> a + b = -3`
`-> a = -3 – b` `(1)`
$\\$
`g (x) =x^3 + ax^2 + bx + 2`
Vì `x=-2` là nghiệm của `g (x)`
`-> g (-2) = 0`
`-> (-2)^3 + a . (-2)^2 + b . (-2) + 2 = 0`
`-> -8 + a . 4 – 2b + 2 = 0`
`-> -8 + 4a – 2b +2= 0`
`-> (-8 + 2) + 4a – 2b = 0`
`-> -6 + 4a – 2b = 0`
`-> 4a -2b = 6`
`-> 2 (2a – b) = 6`
`-> 2a – b = 3`
Thay `(1)` vào ta được :
`-> 2 (-3 – b) – b = 3`
`-> -6 – 2b – b = 3`
`-> -6 – 3b =3`
`-> 3b = -9`
`-> b = -3`
$\\$
Với `b=-3` thay vào `(1)` ta được :
`-> a = -3 – (-3)`
`-> a = -3 + 3`
`-> a = 0`
$\\$
Vậy `a=0,b=-3` để nghiệm của `f (x)` cũng là nghiệm của `g (x)`
Đặt `f(x) =0`
`-> (x-1)(x+2) =0`
`->` \(\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=-2\end{array} \right.\)
Với `x =1`
`-> g(1) = 1 + a + b +2 =0 -> a +b =-3`
`-> a =-3 -b` `(1)`
Với `x =-2`
`-> g(-2) = -8 + 4a -2b + 2 =0 -> 4a -2b =6`
Thế `(1)` vào `-> 4(-3-b) – 2b =6`
`-> -12 – 4b -2b =6`
`-> -4b -2b = 6 +12 =18`
`-> -6b =18 -> b =-3`
`-> a = -3 – (-3) =-3 +3 =0`
Vậy `a =0` và `b =-3`