Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B. Vẽ cát tuyến CAD vuông góc AB (C thuộc đường tròn O, D thuộc đường tròn O’). Tia CB cắt đường tròn O’ tại E, tia BD cắt đường tròn O tại F. Chứng minh
a, ba điểm B,O,C thẳng hàng.
b, ba điểm B,O’,C thẳng hàng.
c, Góc CAF = góc DAE.
d, AB là tia phân giác của góc EAF.
e, CA.CD = CB. CF
f, DA.DC = DB.DF
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Xét ΔACEΔACE có: ˆACE+ˆAEC+ˆCAE=180oACE^+AEC^+CAE^=180o (tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác)
ΔADFΔADF có: ˆAFD+ˆADF+ˆDAFAFD^+ADF^+DAF^ (tính chất tổng 3 góc trong tam giác)
mà ˆACE=ˆACB=ˆAFB=ˆAFDACE^=ACB^=AFB^=AFD^ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
ˆAEC=ˆAEB=ˆADB=ˆADFAEC^=AEB^=ADB^=ADF^ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
⇒ˆCAE=ˆDAF⇒CAE^=DAF^ (cùng cộng với các góc bằng nhau ra 180^o) (đpcm)
b) Do ˆCAE=ˆDAFCAE^=DAF^ (cmt)
⇒ˆCAB+ˆBAE=ˆDAB+ˆBAF⇒CAB^+BAE^=DAB^+BAF^
Mà ˆCAB=ˆDAB=90oCAB^=DAB^=90o (do CAD⊥ABCAD⊥AB)
⇒ˆBAE=ˆBAF⇒AB⇒BAE^=BAF^⇒AB là tia phân giác ˆEAFE^AF (đpcm)
c) Xét ΔCAEΔCAE và ΔCBDΔCBD có:
ˆCC^ chung
ˆAEC=ˆBDCAEC^=BDC^ (góc nội tiếp cùng chắn cung ABAB)
⇒ΔCAE∼ΔCBD⇒ΔCAE∼ΔCBD (g.g)
⇒CACB=CECD⇒CACB=CECD
⇒CA.CD=CB.CE⇒CA.CD=CB.CE (đpcm)