Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D thuộc (O), E thuộc (O’ ). Tiếp tuyến chung trong tại A, cắt DE ở I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE
a) Tứ giác AMIN là hình gì? vì sao?
b) Chứng minh hệ thức IM*IO=IN*IO’
c) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE
Giải thích các bước giải:
a.Do ID,IA là tiếp tuyến của (O), $IO\cap AD=M \rightarrow M$ là trung điểm AD
Tương tự ta chứng minh được N là trung điểm AE
Lại có ID=IA, IA=IE suy ra I là trung điểm DE
$\rightarrow IM$ là đường trung bình $\Delta ADE$
$\rightarrow \begin{cases}IM//AE\\IM=\dfrac{1}{2}AE=AN\end{cases}\rightarrow \Diamond AMIN$ là hình bình hành
b.Xét $\Delta IDO, OI\perp DM\rightarrow IM.IO=ID^2$
Tương tự ta có: $IN.IO’=IE^2$
Mà IE=ID (câu a)
$\rightarrow IM.IO=IN.IO’$
c. Do I là trung điểm DE, IA=IE=ID(câu a)
$\rightarrow (I,IA)$ là đường tròn đường kính DE
Do IA là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn
$\rightarrow IA\perp OO’$
$\rightarrow OO’$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE
$\rightarrow đpcm$