Cho hai số a=2^n + 3^n và b=2^n+1 + 3^n+1 (với n∈N).Chứng min a và b là hai số nguyên tố cùng nhau Làm cho mik với ạ

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Gọi $d = UCLN(a, b)$

Khi đó ta có $a$ và $b$ chia hết cho $d$.

Ta có $2a = 2^{n+1} + 2.3^{n}$

Do $d$ là $UCLN(a,b)$ nên ta có

$b-2a$ chia hết cho $d$

$\Leftrightarrow 2^{n+1} + 3^{n+1} – 2^{n+1} – 2.3^{n}$ chia hết cho $d$

$\Leftrightarrow 3^n(3 – 2)  $ chia hết cho $d$

$\Leftrightarrow 3^n$ chia hết cho $d$.

Lại có $3a = 3.2^n + 3^{n+1}$

Do $d$ là $UCLN(a,b)$ nên ta có

$3a – b$ chia hết cho $d$

$\Leftrightarrow 3.2^n + 3^{n+1} – 2^{n+1} – 3^{n+1}$ chia hết cho $d$

$\Leftrightarrow 3.2^n – 2.2^n$ chia hết cho $d$

$\Leftrightarrow 2^n$ chia hết cho $d$

Vậy $d \in ƯC(2^n, 3^n)$.

Tuy nhiên, ta thấy rằng $2^n$ và $3^n$ nguyên tố cùng nhau với mọi $n$, do đó $ƯCLN(2^n, 3^n) = 1$. Suy ra $d = 1$

Vậy $a$ và $b$ nguyên tố cùng nhau.