Cho hai số a=2^n + 3^n và b=2^n+1 + 3^n+1 (với n∈N).Chứng min a và b là hai số nguyên tố cùng nhau Làm cho mik với ạ 18/11/2021 Bởi Katherine Cho hai số a=2^n + 3^n và b=2^n+1 + 3^n+1 (với n∈N).Chứng min a và b là hai số nguyên tố cùng nhau Làm cho mik với ạ
Đáp án: Giải thích các bước giải: Gọi $d = UCLN(a, b)$ Khi đó ta có $a$ và $b$ chia hết cho $d$. Ta có $2a = 2^{n+1} + 2.3^{n}$ Do $d$ là $UCLN(a,b)$ nên ta có $b-2a$ chia hết cho $d$ $\Leftrightarrow 2^{n+1} + 3^{n+1} – 2^{n+1} – 2.3^{n}$ chia hết cho $d$ $\Leftrightarrow 3^n(3 – 2) $ chia hết cho $d$ $\Leftrightarrow 3^n$ chia hết cho $d$. Lại có $3a = 3.2^n + 3^{n+1}$ Do $d$ là $UCLN(a,b)$ nên ta có $3a – b$ chia hết cho $d$ $\Leftrightarrow 3.2^n + 3^{n+1} – 2^{n+1} – 3^{n+1}$ chia hết cho $d$ $\Leftrightarrow 3.2^n – 2.2^n$ chia hết cho $d$ $\Leftrightarrow 2^n$ chia hết cho $d$ Vậy $d \in ƯC(2^n, 3^n)$. Tuy nhiên, ta thấy rằng $2^n$ và $3^n$ nguyên tố cùng nhau với mọi $n$, do đó $ƯCLN(2^n, 3^n) = 1$. Suy ra $d = 1$ Vậy $a$ và $b$ nguyên tố cùng nhau. Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Gọi $d = UCLN(a, b)$
Khi đó ta có $a$ và $b$ chia hết cho $d$.
Ta có $2a = 2^{n+1} + 2.3^{n}$
Do $d$ là $UCLN(a,b)$ nên ta có
$b-2a$ chia hết cho $d$
$\Leftrightarrow 2^{n+1} + 3^{n+1} – 2^{n+1} – 2.3^{n}$ chia hết cho $d$
$\Leftrightarrow 3^n(3 – 2) $ chia hết cho $d$
$\Leftrightarrow 3^n$ chia hết cho $d$.
Lại có $3a = 3.2^n + 3^{n+1}$
Do $d$ là $UCLN(a,b)$ nên ta có
$3a – b$ chia hết cho $d$
$\Leftrightarrow 3.2^n + 3^{n+1} – 2^{n+1} – 3^{n+1}$ chia hết cho $d$
$\Leftrightarrow 3.2^n – 2.2^n$ chia hết cho $d$
$\Leftrightarrow 2^n$ chia hết cho $d$
Vậy $d \in ƯC(2^n, 3^n)$.
Tuy nhiên, ta thấy rằng $2^n$ và $3^n$ nguyên tố cùng nhau với mọi $n$, do đó $ƯCLN(2^n, 3^n) = 1$. Suy ra $d = 1$
Vậy $a$ và $b$ nguyên tố cùng nhau.