Cho hai số a,b dương và a+b= 1. C/M a^2 +b^2>= 0,5

0 bình luận về “Cho hai số a,b dương và a+b= 1. C/M a^2 +b^2>= 0,5”

1.  Với mọi `a;b>0` ta có:

   `\qquad (a-b)^2\ge 0`

   `<=>a^2-2ab+b^2\ge 0`

   `<=>a^2+b^2\ge 2ab`

   `<=>a^2+b^2+a^2+b^2\ge a^2+b^2+2ab`

   `<=>2(a^2+b^2)\ge (a+b)^2`

   `<=>a^2+b^2\ge {(a+b)^2}/2`

   `<=>a^2+b^2\ge {1^2}/2=0,5` (vì `a+b=1`)

   Dấu “=” xảy ra khi `a=b=1/2`

   Vậy `a^2+b^2\ge 0,5` với mọi `a;b` dương thỏa `a+b=1`

   Trả lời

2. `\forall a; b` dương ta có :
   `(a-b)^2 \ge 0`
   `<=> a^2 + b^2 -2ab  \ge 0`
   `<=> a^2 + b^2 \ge 2ab`
   `<=> 2.(a^2 + b^2) \ge a^2 +b^2 +2ab`
   `<=> 2a.(a^2 + b^2) \ge (a+b)^2`
   `<=> a^2 +b^2 \ge (a+b)^2 /2`
   `<=> a^2 + b^2 \ge 1/2 (do\ a+b=1)`
   `<=> a^2 +b^2 \ge 0,5`

   Vậy `\forall a;b` dương thì `a^2 + b^2 \ge 0,5`

   Trả lời