Cho hai số a,b nguyên tố cùng nhau thoả mãn ab là số chính phương. Chứng minh rằng a và b là số chính phương

0 bình luận về “Cho hai số a,b nguyên tố cùng nhau thoả mãn ab là số chính phương. Chứng minh rằng a và b là số chính phương”

1. Đáp án:

    $\text{Điều phải chứng minh}$

   Giải thích các bước giải:

    Ta có: $ƯCLN(a,b)=1$ và $a.b=c^2$ $(với c \in N)$ $(1)$.Ta chứng minh $a, b$ là các số chính phương.

   Gọi $ƯCLN(a,b)=d$ khi đó $a=d.x;$ $c=d.y;$ $ƯCLN(x,y)=1.$ $(2)$

   Từ $(1),$ $(2)$ suy ra: $d.x.b=c^2⇒d.x.b=d^2.y^2⇒x.b=d.y^2$

   $+$ $\ x.b\vdots y^2⇒\ b\vdots y^2$ vì $ƯCLN(x,y)=1$ $(3)$

   $+$ $\ y^2.d^2\vdots b⇒\ y^2\vdots b$ vì $ƯCLN(b,d)=ƯCLN(b,a)=1$ $(4)$

   Từ $(3),$ $(4)$$⇒b=y^2⇒\text{b là số chính phương}$

   Mà $a.b=c^2$ nên $a=\dfrac{c^2}{b}$

   Từ đó lại suy ra: $a=\dfrac{c^2}{y^2}$

   $⇒a=(\dfrac{c}{y})^2⇒\text{a là số chính phương.}$

   $\text{Vậy điều phải chứng minh}$

   Bình luận