Cho hai số chính phương liên tiếp . Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ

0 bình luận về “Cho hai số chính phương liên tiếp . Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ”

1. Gọi hai số liên tiếp là: `a,a+1(a∈ZZ)`

   `⇒` bình phương của hai số đó là `a^2,(a+1)^2.`

   Theo bài ra ta có: `a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2`

   `=a^2+a^2+2a+1+a^2(a^2+2a+1)`

   `=a^2+a^2+2a+1+a^4+2a^3+a^2`

   `=a^4+2a^3+3a^2+2a+1`

   `=a^4+a^2+1+2a^3+2a+2a^2`

   `=(a^2)^2+a^2+1^2+2.a^2 . a+2.a.1+2.a^2. 1`

   `=(a^2+a+1)^2` (`HĐT` bậc `2` cho `3` số)

   `=[a(a+1)+1]^2.`

   Có `a∈ZZ,` mà `a,a+1` là hai số liên tiếp `⇒` có ít nhất `1` số `⋮2.`

   `⇒a(a+1)+1` là một số lẻ.`

   `⇒[a(a+1)+1]^2` là bình phương của một số lẻ, hay là một số chính phương lẻ.

   Vậy tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Gọi hai số chính phương liên tiếp đó là `a^2` và `(a+1)^2(ainN)`

   Theo đề bài ta có :

   `a^2+(a+1)^2+a^2.(a+1)^2`

   `=a^2+a^2+2a+1+a^4+2a^3+a^2`

   `=(a^4+a^3+a^2)+(a^3+a^2+a)+(a^2+a+1)`

   `=a^2(a^2+a+1)+a(a^2+a+1)+1.(a^2+a+1)`

   `=(a^2+a+1)^2`

   `=[a(a+1)+1]^2`

   Vì `a(a+1)\vdots2` do 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2

   `=>a(a+1)+1` lẻ

   `=>[a(a+1)+1]^2` là số chính phương lẻ.

   `=>dpcm`

   Bình luận