Cho hai số dương $a;b$ thỏa mãn $a+b \geq 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P= \dfrac{1}{a^4 + b^2 + 2ab} + \dfrac{1}{b^4 + a^2 + 2ba^2}$

0 bình luận về “Cho hai số dương $a;b$ thỏa mãn $a+b \geq 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P= \dfrac{1}{a^4 + b^2 + 2ab} + \dfrac{1}{b^4 + a^2 + 2ba^2}$”

1. sửa đề :v

   `P=(1)/(a^4+b^2+2ab^2)+1/(b^4+a^2+2ba^2)≤1/(2ab(a+b))+1/(2ab(a+b))≤1/(4ab)+1/(4ab)=2/(4ab)=1/(2ab)<1/((a+b)^2-a^2-b^2)≤1/(4-2)=1/2`

   `”=”`xẩy ra khi :

   `a+b=2`

   và` a=b`

   `⇒a=b=1`

    

   Bình luận

2. Ta chứng minh BĐT `x^2 + y^2 ≥ 2xy` `(1)`

   BĐT `⇔ x^2 + y^2 – 2xy ≥ 0` `⇔ (x-y)^2 ≥ 0` (luôn đúng)

   Theo BĐT `(1)` ta có :

   `a^4 + b^2 ≥ 2a^2b`

   `b^4 + a^2 ≥ 2b^2a`

   `⇒ P ≤ 1/(2a^2b + 2ab^2) + 1/(2b^2a + 2a^2b)`

   `⇒ P ≤ 1/(2ab(a+b)) + 1/(2ab(a+b))`

   Vì `2 ≤ a+b`

   `⇔ P ≤ 1/(4ab) + 1/(4ab) = 1/(2ab)`

   Từ BĐT : `x^2 + y^2 ≥ 2xy`

   Cộng `( x^2 + y^2 )` vào hai vế, ta có :

   `2(x^2 + y^2) ≥ 2xy + x^2 + y^2`

   `⇔ 2(x^2 + y^2) ≥ (x + y)^2` `(2 )`

   Theo bài ra : `a + b ≥ 2`

   `⇒ (a + b)^2 ≥ 4` 

   Theo BĐT `(2)` :   `2(a^2 + b^2) ≥ (a + b)^2 ≥ 4`

   `⇒ 2(a^2+b^2) ≥ 4` 

   `⇒ a^2 + b^2 ≥ 2`

   `⇒ (a + b)^2  – 2ab ≥ 2`

   `⇒ ab ≤ ((a+b)^2 – 2)/2`  và `2ab ≤ (a+b)^2 – 2`

   Khi đó :

   `P ≤ 1/(2ab) < 1/((a+b)^2 – 2)`

   `⇒` `P ≤ 1/(2^2 -2) = 1/2` 

   Vậy Max `P = 1/2` .

   Dấu `=` xảy ra khi : `a = b = 1`

    

   Bình luận