Cho hai số dương $a;b$ thỏa mãn $a+b \geq 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P= \dfrac{1}{a^4 + b^2 + 2ab} + \dfrac{1}{b^4 + a^2 + 2ba^2}$

Ta chứng minh BĐT `x^2 + y^2 ≥ 2xy` `(1)`

BĐT `⇔ x^2 + y^2 – 2xy ≥ 0` `⇔ (x-y)^2 ≥ 0` (luôn đúng)

Theo BĐT `(1)` ta có :

`a^4 + b^2 ≥ 2a^2b`

`b^4 + a^2 ≥ 2b^2a`

`⇒ P ≤ 1/(2a^2b + 2ab^2) + 1/(2b^2a + 2a^2b)`

`⇒ P ≤ 1/(2ab(a+b)) + 1/(2ab(a+b))`

Vì `2 ≤ a+b`

`⇔ P ≤ 1/(4ab) + 1/(4ab) = 1/(2ab)`

Từ BĐT : `x^2 + y^2 ≥ 2xy`

Cộng `( x^2 + y^2 )` vào hai vế, ta có :

`2(x^2 + y^2) ≥ 2xy + x^2 + y^2`

`⇔ 2(x^2 + y^2) ≥ (x + y)^2` `(2 )`

Theo bài ra : `a + b ≥ 2`

`⇒ (a + b)^2 ≥ 4` 

Theo BĐT `(2)` :   `2(a^2 + b^2) ≥ (a + b)^2 ≥ 4`

`⇒ 2(a^2+b^2) ≥ 4` 

`⇒ a^2 + b^2 ≥ 2`

`⇒ (a + b)^2  – 2ab ≥ 2`

`⇒ ab ≤ ((a+b)^2 – 2)/2`  và `2ab ≤ (a+b)^2 – 2`

Khi đó :

`P ≤ 1/(2ab) < 1/((a+b)^2 – 2)`

`⇒` `P ≤ 1/(2^2 -2) = 1/2` 

Vậy Max `P = 1/2` .

Dấu `=` xảy ra khi : `a = b = 1`