Cho hai số dương x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 1/x ²+ y ² +1/xy giúp mình với mn ơi. Thanks

0 bình luận về “Cho hai số dương x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 1/x ²+ y ² +1/xy giúp mình với mn ơi. Thanks”

1. Giải thích các bước giải:

   Ta có: $\left ( a – b \right )^{2} \geq 0$ với mọi $a, b$

   $\Leftrightarrow a^{2} – 2ab + b^{2} \geq 0$ 

   $\Leftrightarrow a^{2} – 2ab + b^{2} + 4ab \geq 4ab$ 

   $\Leftrightarrow a^{2} + 2ab + b^{2} \geq 4ab$ 

   $\Leftrightarrow \left ( a + b \right )^{2} \geq 4ab$ 

   $\Leftrightarrow \left ( a + b \right )^{2} \geq 4ab$

   $\Leftrightarrow \dfrac{a + b}{ab} \geq \dfrac{4}{a + b} \left ( * \right )$  

   $\Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geq \dfrac{4}{a + b}$  

   $\bullet A = \dfrac{1}{x^{2} + y^{2}} + \dfrac{1}{xy} = \dfrac{1}{x^{2} + y^{2}} + \dfrac{1}{2xy} + \dfrac{1}{2xy}$

   Áp dụng bất đẳng thức $\left ( * \right )$ ta có:

   $\dfrac{1}{x^{2} + y^{2}} + \dfrac{1}{2xy} \geq \dfrac{4}{x^{2} + 2xy + y^{2}} = \dfrac{4}{\left ( x + y \right )^{2}} = \dfrac{4}{1^{2}} = 4 \left ( 1 \right )$ (vì $x + y = 1$)

   Ta có: $\left ( \sqrt{a} – \sqrt{b} \right )^{2} \geq 0$ với mọi $a, b \geq 0$

   $\Leftrightarrow a – 2\sqrt{ab} + b \geq 0$

   $\Leftrightarrow a – 2\sqrt{ab} + b \geq 0$

   $\Leftrightarrow 2\sqrt{ab} \leq a + b$

   $\Leftrightarrow \sqrt{ab} \leq \dfrac{a + b}{2}$

   $\Leftrightarrow ab \leq \left ( \dfrac{a + b}{2} \right )^{2} \left ( ** \right )$

   Áp dụng bất đẳng thức $\left ( ** \right )$ ta có:

   $xy \leq \left ( \dfrac{x + y}{2} \right )^{2} = \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{2} = \dfrac{1}{4}$ (vì $x + y = 1$)

   $\Leftrightarrow 2xy \leq 2.\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$ 

   $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2xy} \geq 2 \left ( 2 \right )$

   Từ $\left ( 1 \right )$ và $\left ( 2 \right )$ suy ra:

   $A \geq 4 + 2 = 6$

   Dấu “=” xảy ra khi $x = y = \dfrac{1}{2}$

    

   Trả lời

2. Đáp án: $A\ge 6$

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}$

   $\to A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{2xy}$

   $\to A\ge \dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}+\dfrac{2}{4xy}$

   $\to A\ge \dfrac{4}{(x+y)^2}+\dfrac{2}{(x+y)^2}$

   $\to A\ge \dfrac{4}{1^2}+\dfrac{2}{1^2}$

   $\to A\ge 6$

   Dấu = xảy ra khi $x=y=\dfrac12$

   Trả lời