cho hai số dương x,y thoả manx^3+y^3=3xy-1. Tính giá trị của biểu thức A=x^2018+y^2019 06/08/2021 Bởi Julia cho hai số dương x,y thoả manx^3+y^3=3xy-1. Tính giá trị của biểu thức A=x^2018+y^2019
Đáp án: $A=2$ Giải thích các bước giải: $x^3+y^3=3xy-1$ $\rightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)=3xy-1$ $\rightarrow (x+y)^3+1-(3xy(x+y)+3xy)=0$ $\rightarrow (x+y+1)((x+y)^2-(x+y)+1)-3xy(x+y+1)=0$ $\rightarrow (x+y+1)(x^2+2xy+y^2-(x+y)+1-3xy)=0$ $\rightarrow (x+y+1)(x^2-xy+y^2-(x+y)+1)=0$ $\rightarrow x^2+y^2-xy-(x+y)+1=0(x,y>0)$ $\rightarrow (x^2-2x.\dfrac{y+1}{2}+(\dfrac{(y+1)^2}{4}))+\dfrac{3y^2}{4}-\dfrac{3y}{2}+\dfrac{3}{4}=0$ $\rightarrow (x-\dfrac{y+1}{2})^2+\dfrac{3}{4}(y-1)^2=0$ $\rightarrow \begin{cases}y-1=0\\x-\dfrac{y+1}{2}=0\end{cases}\rightarrow x=y=1$ $\rightarrow A=1^{2018}+1^{2018}=2$ Bình luận
Đáp án: $A=2$
Giải thích các bước giải:
$x^3+y^3=3xy-1$
$\rightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)=3xy-1$
$\rightarrow (x+y)^3+1-(3xy(x+y)+3xy)=0$
$\rightarrow (x+y+1)((x+y)^2-(x+y)+1)-3xy(x+y+1)=0$
$\rightarrow (x+y+1)(x^2+2xy+y^2-(x+y)+1-3xy)=0$
$\rightarrow (x+y+1)(x^2-xy+y^2-(x+y)+1)=0$
$\rightarrow x^2+y^2-xy-(x+y)+1=0(x,y>0)$
$\rightarrow (x^2-2x.\dfrac{y+1}{2}+(\dfrac{(y+1)^2}{4}))+\dfrac{3y^2}{4}-\dfrac{3y}{2}+\dfrac{3}{4}=0$
$\rightarrow (x-\dfrac{y+1}{2})^2+\dfrac{3}{4}(y-1)^2=0$
$\rightarrow \begin{cases}y-1=0\\x-\dfrac{y+1}{2}=0\end{cases}\rightarrow x=y=1$
$\rightarrow A=1^{2018}+1^{2018}=2$