cho hai số dương x,y thoả manx^3+y^3=3xy-1. Tính giá trị của biểu thức A=x^2018+y^2019

Đáp án: $A=2$

Giải thích các bước giải:

$x^3+y^3=3xy-1$

$\rightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)=3xy-1$

$\rightarrow (x+y)^3+1-(3xy(x+y)+3xy)=0$

$\rightarrow (x+y+1)((x+y)^2-(x+y)+1)-3xy(x+y+1)=0$

$\rightarrow (x+y+1)(x^2+2xy+y^2-(x+y)+1-3xy)=0$

$\rightarrow (x+y+1)(x^2-xy+y^2-(x+y)+1)=0$

$\rightarrow x^2+y^2-xy-(x+y)+1=0(x,y>0)$

$\rightarrow (x^2-2x.\dfrac{y+1}{2}+(\dfrac{(y+1)^2}{4}))+\dfrac{3y^2}{4}-\dfrac{3y}{2}+\dfrac{3}{4}=0$

$\rightarrow (x-\dfrac{y+1}{2})^2+\dfrac{3}{4}(y-1)^2=0$

$\rightarrow \begin{cases}y-1=0\\x-\dfrac{y+1}{2}=0\end{cases}\rightarrow x=y=1$

$\rightarrow A=1^{2018}+1^{2018}=2$